快速理解三角函数：积化和差、和差化积

• 快速理解三角函数：积化和差、和差化积

• 积化和差、和差化积是高中数学三角函数部分非常重要的内容。下面我们将分析如何快速理解并记忆积化和差、和差化积。
• 先来看看和差化积的四个基础公式
• $sin(A)+sin(B)=2sin(\frac{A+B}{2})cos(\frac{A-B}{2})$
  这里考虑将左边的角A和角B拆分成
  比如：
  $sin(\frac{A+B}{2}+\frac{A-B}{2})+sin(\frac{A+B}{2}-\frac{A-B}{2})=sin(\frac{A+B}{2})cos(\frac{A-B}{2})+cos(\frac{A+B}{2})sin(\frac{A-B}{2})+sin(\frac{A+B}{2})cos(\frac{A-B}{2})-cos(\frac{A+B}{2})sin(\frac{A-B}{2})=2sin(\frac{A+B}{2})cos(\frac{A-B}{2})$
• $sin(A)-sin(B)=2cos(\frac{A+B}{2})sin(\frac{A-B}{2})$
• $cos(A)+cos(B)=2cos(\frac{A+B}{2})cos(\frac{A-B}{2})$
• $cos(A)-cos(B)=-2sin(\frac{A+B}{2})sin(\frac{A-B}{2})$
  其他三个式子均可采用相同的方法，但前提必须熟悉下面两个式子：
  $\sin (A\pm B)=\sin (A)\cos (B)\pm \cos (A)\sin (B)（1-1）$
  $\cos (A\pm B)\text{ = }\cos (A)\cos (B)\mp \sin (A)\sin (B)（1-2）$
  -下面探讨积化和差的方法
  先来熟悉四个基本式子：
• $\sin (A)\cos (B)=\frac{1}{2}[\sin (A+B)+\sin (A-B)]$
• $\cos (A)\sin (B)=\frac{1}{2}[\sin (A+B)-\sin (A-B)]$
• $\cos (A)\cos (B)=\frac{1}{2}[\cos (A+B)+\cos (A-B)]$
• $\sin (A)\sin (B)=-\frac{1}{2}[\cos (A+B)-\cos (A-B)]$
• 其实本质上还是(1-1)式、(1-2)式的灵活运用，记住$sin(A+B)$的展开形式只能是$sin(A)cos(B)$和$cos(A)sin(B)$的形式，而$cos(A+B)$的展开形式必然只有$cos(A)cos(B)$和$sin(A)sin(B)$的形式。这样可以快速帮助我们记忆上式。
• 总结：和差化积、积化和差虽然高中阶段不要求记忆，但是灵活运用可以极大减小运算量。另外，它在后续大学信号处理类课程中调制解调仍然会发挥巨大的作用。希望这篇文章可以帮助你。谢谢阅读、感谢指正。