递归算法及经典案例

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本文深入浅出地解释了递归算法的概念，并通过计算阶乘、斐波那契数列、射击运动员打靶可能性及八皇后问题的实例，展示了递归在解决复杂问题时的高效性和简洁性。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

递归是程序设计中的一种算法。一个过程或函数直接调用自身或通过其他的过程或函数调用语句间接地调用自己的过程或函数，称为递归过程或函数。

递归是较难理解的算法之一。简单地说，递归就是编写这样一个特定的过程，该过程中有一个语句用于调用过程自身。

好了，不多说了，看几个案例吧！

案例1：利用递归调用手段编程计算N!。

template <typename T>
T find(T n)  //递归函数
{
	if (n == 1)
	{
		return 1;
	}
	else
	{
		return find(n - 1)*n;
	}
}
int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])
{
	int n;
	cout << "Please input n:" << endl;
	cin >> n;
	cout << "n! = " << find(n) << endl;

	return 0;
}

案例2：试用递归的方法写一个计算斐波那契数列的通项f(n)，已知f1=1,f2=1,以后每项都是前两项的和。

template <typename T>
T f(T n)  //递归函数
{
	if (n == 1 || n == 2)
	{
		return 1;
	}
	else
	{
		return f(n - 1) + f(n - 2);
	}
}
int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])
{
	int n;
	cout << "Please input n:" << endl;
	cin >> n;
	cout << "n! = " << f(n) << endl;

	return 0;
}

案例3：一个射击运动员打靶，靶一共有10环，连开10枪打中90环的可能性有多少种？

如果用非递归的方法实现，可以用10个循环语句来表示程序，代码如下：

for(i1=0;i1<10;i1++)
{
    for(i2=0;i2<10;i2++)
    {
        ...
        if(i1+...+i9==90)
        Print();
        ...
    }
}

上面的代码可以解决问题，但是时间复杂度和空间复杂度无疑是很高的。

#include "stdafx.h"
#include <iostream>
using namespace std;

int sum = 0;
int socre[10];

//输出每次射击打中的环数
void Output()
{
	for (int i = 0; i < 10;i++)
    {
		cout << socre[i] << "\t";
    }
	cout << endl;
	sum++;
}
//统计满足条件的次数
template <typename T>
void Compute(T Sum_Socre, T n)
{
	if (Sum_Socre < 0 || Sum_Socre > (n + 1) * 10)//次数n为0-9
		return;
	if (n == 0)
	{
		socre[n] = Sum_Socre;
		Output();
		return;
	}
	for (T i = 0; i <= 10;i++)
	{
		socre[n] = i;
		Compute(Sum_Socre - i, n - 1);
	}
}
int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])
{
	Compute(90, 9);
	cout << sum << endl;
	return 0;
}

案例4：八皇后问题。该问题是19世纪著名的数学家高斯1850年提出：在8×8格的国际象棋盘上摆放8个皇后，使不能互相攻击，即任意两个皇后都不能处于同一行、同一列或同一斜线上，问有多少种摆法。

算法解析：

数组a、b、c分别用来标记冲突，a数组代表列冲突，从a[0]-a[7]代表第0列到第7列。如果某列上已有皇后，则为1，否则为0.

数组b代表主对角线冲突，为b[i-j+7],即从b[0]-b[14]。如果某条主对角线上已经有皇后，则为1，否则为0.

数组c代表从对角线冲突，为b[i+j],即从c[0]-b[14]。如果某条从对角线上已经有皇后，则为1，否则为0.