特别简单的noip-数论选讲

简单数论选讲

声明：此课件中用这个格式的证明不必详细了解，只是为了让你更信服

一、逆元

因为逆元不归我讲，但是又很重要，所以在这里一笔带过

一整数$a$对同余$p$之模逆元是指满足以下公式的整数$b$

$a^{-1}\equiv b(modp)$

也可以写成以下的式子

$ab\equiv 1(modp)$

整数$a$对模数$p$之模逆元存在的充分必要条件是$a$和$p$互素，若此模逆元存在，在模数$p$下的除法可以用和对应模逆元的乘法来达成，此概念和实数除法的概念相同。

模意义下的逆元就好比实数运算中的倒数，模意义下除以一个数就相当于乘上这个数的逆元，就可以实现模意义下的除法啦！

二、费马小定理

费马小定理在OI中最(wei)大(yi)的用途就是求乘法逆元

内容：当$p$为质数时有$a^{p-1}\equiv 1(modp)$

所以$a^{p-2}\ast a\equiv 1(modp)$，即$a^{p-2}$为$a$在模$p$意义下的逆元

可以直接用快速幂求出

费马小定理的证明(其实并没有多大用)：

引理一：如果$p,c$互质$a\ast c\equiv b\ast c(modp)$，则有$a\equiv b(modp)$

证明：
$\because a\ast c\equiv b\ast c(modp)$
$\therefore (a-b)\ast c\equiv 0(modp)$
$\because c$与$p$互质
$\therefore a-b\equiv 0(modp)$

引理二：若有$p$的完全剩余系$a_1,a_2,...,a_p$，且$p,c$互质，则$a_1\ast c,a_2\ast c,...,a_p\ast c$也是$p$的完全剩余系

完全剩余系，即是通过对一系列正整数$modm$后产生的从$0$至$m-1$的完全数系

证明：反证法，假设存在$a_i\ast c\equiv a_j\ast c(modp)$，由引理一得，$a_i\equiv a_j(modp)$，假设不成立，引理二成立

费马小定理证明：
$\because 0,1,2,3,...,p-1$为$p$的一个完全剩余系
$\therefore 0,a,2\ast a,3\ast a,...,(p-1)\ast a$为$p$的一个完全剩余系，
且{a mod p,2∗a mod p,3∗a mod p,...,(p−1)∗a mod p}={1,2,3,...,p−1}\{a\ mod\ p,2*a\ mod\ p,3*a\ mod\ p,...,(p-1)*a\ mod\ p\}=\{1,2,3,...,p-1\}{a mod p,2∗a mod p,3∗a mod p,...,(p−1)∗a mod p}={1,2,3,...,p−1}
$\therefore 1\ast 2\ast 3\ast ...\ast (p-1)\equiv a\ast 2\ast a\ast 3\ast a\ast ...\ast (p-1)\ast a(modp)$
$\therefore (p-1)!\equiv a^{p-1}\ast (p-1)!(modp)$
$\therefore a^{p-1}\equiv 1(modp)$

时间复杂度：$O(logp)$ 使用条件：$a,p$互质且$p$为质数

三、欧拉函数

1.欧拉函数的定义

欧拉函数$\Phi (n)$代表小于$n$并且与$n$互质的数的个数，特别的，$\Phi (1)=1$。

2.欧拉函数的求法

$\Phi (x)=x\ast {\prod }_{i=1}^n(1-\frac{1}{p_i})$，其中$p_1,p_2,...,p_n$为$x$所有的质因子；特别的，$\Phi (1)=1$

如何理解这个式子呢？因为对于某一个质因数$p_i$，在$1$到$x$中有$\frac{x}{p_i}$个数是$p_i$的倍数，那么就有$x\ast (1-\frac{1}{p_i})$个数不是$p_i$的倍数，对于所有$x$的质因数$p_i,p_2,...,p_n$考虑的话，就有$x\ast {\prod }_{i=1}^n(1-\frac{1}{p_i})$个数不是其中任何一个质因数的倍数，也就是与$x$互质的数的数目，即$\Phi (x)$

3.欧拉函数的性质

1)欧拉函数是积性函数，即满足:若$a,b$互质，则$\Phi (a\ast b)=\Phi (a)\ast \Phi (b)$(所以可以线性筛)

2)若$p$为质数，则$\Phi (p)=p-1$

3)小于$n$与$n$互质的数的和为$\Phi (n)\ast \frac{n}{2}$(n=1的时候不满足此性质)

4)若$p$为质数，且$n=p^k$，则$\Phi (n)=p^k-p^{k-1}$

5)$n={\sum }_{d|n}\Phi (d)$，此公式在杜教筛中有很大用

上列性质的证明：

1)若$a,b$互质，设$a,b$所有质因数分别为{a1,a2,...,an}\{a_1,a_2,...,a_n\}{a1​,a2​,...,an​},{b1,b2,...,bm}\{b_1,b_2,...,b_m\}{b1​,b2​,...,bm​}，且$\forall i,j{a}_i\ne b_j$(因为$a,b $互质)

$\Phi (a)\ast \Phi (b)=a\ast b\ast {\prod }_{i=1}^n(1-\frac{1}{a_i})\ast {\prod }_{i=1}^m(1-\frac{1}{b_i})=\Phi (a\ast b)$

2)$1,2,...,p-1$都与$p$互质，所以$\Phi (p)=p-1$

3)若$(a,n)=1$，则有$(n-a,n)=1$(想一想，为什么？)，所以与$n$互质的数的平均数是$n/2$，而个数又是$\Phi (n)$，可以得到这些数的和就是$\Phi (n)\ast n/2$。

4)代入公式显然。

5)引理一：令$F(x)={\sum }_{d|x}\Phi (d)$，则$F(x)$为积性函数
证明：设$(a,b)=1$，则
$$\begin{gathered} F(a)\ast F(b)=\sum _{i|a}\Phi (i)\ast \sum _{j|b}\Phi (j) \\ =\Phi (i_1)\ast \Phi (j_1)+\Phi (i_1)\ast \Phi (j_2)+...\Phi (i_2)\ast \Phi (j_1)+\Phi (i_2)\ast \Phi (j_2)+...+\Phi (i_p)\ast \Phi (j_q) \\ =\Phi (i_1\ast j_1)+\Phi (i_1\ast j_2)+...+\Phi (i_2\ast j_1)+\Phi (i_2\ast j_2)+...+\Phi (i_p\ast j_q) \end{gathered}$$
(这里排版bug了，也懒得改了)
不难看出$i_1\ast j_1,i_1\ast j_2...,i_p\ast j_q$正好是$a\ast b$的所有因数，就相当于是把$a$的所有因数同时乘上$j_1,j_2,...,j_q$，所得到的所有数必然是$a\ast b$的所有因数，所以$F(a)\ast F(b)=F(a\ast b)$得证，$F(x)$是积性函数

因为$F(x)$为积性函数，所以我们只需要观察$x=p^k$的时候是否满足即可

$F(p^k)=\Phi (p^0)+\Phi (p^1)+...+\Phi (p^k)$

由性质(4)得，$F(p^k)=1+p^1-p^0+p^2-p^1+...+p^k-p^{k-1}=p^k$

因为$F(x)$是积性函数，所以对于所有的正整数，都有$n={\sum }_{d|n}\Phi (d)$，性质(5)得证

4.欧拉定理

一般的欧拉定理叙述为：对于$\forall a,p$，若$gcd(a,p)=1$，则$\forall n,a^n\equiv a^{nmod\Phi (p)}(modp)$

当$n=\Phi (p)$时，$a^{\Phi§}≡1(mod\ p) $(这玩意甚至可以直接推出费马小定理…)

证明：

欧拉定理的证明其实和费马小定理十分相似…

引理一：同费马小定理的引理一，如果$p,c$互质$a\ast c\equiv b\ast c(modp)$，则有$a\equiv b(modp)$

引理二：若$a,b$与$p$互质，则$a\ast b$也与$p$互质

证明：这条是显然(凑字数)的，因为$a\ast b$不会多出任何$p$的质因数，所以一定互质…

引理三：设小于$p$并且与$p$互质的数分别为$x_1,x_2,...,x_{\Phi (p)}$，且$p,c$互质，则$c\ast x_1,c\ast x_2,...,c\ast x_{\Phi (p)}$和它在模$p$意义下等价

证明：由引理二，$c\ast x_1,c\ast x_2,...,c\ast x_{\Phi (p)}$一定都与$p$互质，如果$\exists i,j$使得$c\ast x_i\equiv c\ast x_j(modp)$，由引理一，$x_i\equiv x_j(modp)$，与假设矛盾，所以$c\ast x_1,c\ast x_2,...,c\ast x_{\Phi (p)}$是$x_1,x_2,...,x_{\Phi (p)}$的一组置换，在模$p$意义下是等价的

欧拉定理证明：

$\because a,p$互质

由引理三，有$x_1\ast x_2\ast ...\ast x_{\Phi (p)}\equiv a\ast x_1\ast a\ast x_2\ast ...\ast a\ast x_{\Phi (p)}(modp)$
$\therefore {\prod }_{i=1}^{\Phi (p)}{x}_i\equiv a^{\Phi (p)}\ast {\prod }_{i=1}^{\Phi (p)}{x}_i(modp)$
$\therefore a^{\Phi (p)}\equiv 1(modp)$

由欧拉定理，我们可以找出另一种逆元的求法，$a$在模$p$意义下的逆元为$a^{\Phi (p)-1}$

这一求法相较费马小定理，少了对$p$是否为质数的限制，只需$a,p$互质即可，这一条也是$a$存在逆元的充要条件，所以用欧拉函数求逆元是最万能的方法(可惜没人用)

5.扩展欧拉定理

扩展欧拉定理的叙述为：对于$\forall a,p$若$gcd(a,p)\ne 1$，则有

$a^n\equiv a^{nmod\Phi (p)}(modp)$，($n<\Phi (p)$)(屁话)

$a^n\equiv a^{nmod\Phi (p)+\Phi (p)}(modp)$，($otherwise$)

证法太麻烦，noip也不带考的，大家略微了解一下就好了！(如果非要看证法可以看另一篇课件)

6.欧拉函数的线性筛法

首先根据积性函数的性质，如果$i,j$互质，则$\Phi (i\ast j)=\Phi (i)\ast \Phi (j)$；
所以对于$imodprim{e}_j\ne 0$的情况，$\Phi (i\ast prim{e}_j)$直接等于$\Phi (i)\ast \Phi (prim{e}_j)$即可。

对于$imodprim{e}_j=0$的情况，考虑求解$\Phi (n)$的公式，多乘一个$prim{e}_j$并不会多一个质因子，只有前面的$n$多乘了一个$prim{e}_j$，所以这种情况$\Phi (i\ast prim{e}_j)=\Phi (i)\ast prim{e}_j$

详细代码如下：

inline void prime_shaker(int n){
    phi[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(!pd[i]) prime[++top]=i,phi[i]=i-1;
        for(int j=1;j<=top && 1ll*prime[j]*i<=n;j++){
            pd[i*prime[j]]=true;
            if(i%prime[j]==0){
                phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
                break;
            }
            else phi[i*prime[j]]=phi[i]*phi[prime[j]];
        }
    }
}

没错我大括号不换行，你打我啊~

中国剩余定理(crt)

简单的中国剩余定理

设有模线性方程组(S):
$$(S):\{\begin{array}{rl}x& \equiv a_1(mod{m}_1)\\ x& \equiv a_2(mod{m}_2)\\ & ...\\ x& \equiv a_n(mod{m}_n)\end{array}$$
且$m_1,m_2,...,m_n$两两互质，中国剩余定理就是一个通过构造方式求解一组$x$的算法

因为是构造，所以先直接告诉大家构造方式：

设$M={\prod }_{i=1}^n{m}_i,M_i=M/m_i$，$M_i^{-1}$为$M_i$在$m_i$意义下的逆元,则通解$x={\sum }_{i=1}^n{a}_i\ast M_i\ast M_i^{-1}$

这个构造式应该怎么考虑呢？

通解$x$可以看作是一堆奇怪东西的和(${\sum }_{j=1}^n{a}_j\ast M_j\ast M_j^{-1}$)，我们考虑这个和$x$在第$i$个方程组中是什么样的

对于$i\ne j$的项，相当于是$a_j\ast$一个包含因数$m_i$的数$\ast$另一个奇怪的数，这一项包含因数$m_i$，所以在第$i$个方程组的贡献是$0$

对于$i=j$的项，相当于是$a_i\ast M_i\ast M_i^{-1}=a_i$，贡献是$a_i$

所以$xmod{m}_i=0+0+...+0+a_i=a_i$，该构造成立

这个构造方式只能适用于$m_i$两两互质的情况，且如果${\prod }_{i=1}^n{m}_i$过大的话也不好计算，所以就有了扩展的中国剩余定理

扩展中国剩余定理(excrt)

前置技能：扩展欧几里得算法(exgcd)

扩展欧几里得算法不归我讲…所以我先只介绍下它的用处

扩展欧几里得算法可以快速求出$ax+by=gcd(a,b)$的一组解$x,y$，假设我们已经掌握了这个算法，那么我们来利用这个算法推一下中国剩余定理吧！

其实扩展crt特别简单…假设你搞出了前$k$组的一个最小正整数解$x$，想推出前$k+1$个方程的解
令$M={\prod }_{i=1}^k{m}_i$，显然$\forall t,x+t\ast M$都是满足的

那么对于新的一组方程$x\equiv a_{k+1}(mod{m}_{k+1})$我们要找的是令$x+t\ast M\equiv a_{k+1}(mod{m}_{k+1})$最小的$t$，
即$t\ast M+m_{k+1}\ast p\equiv a_{k+1}-x$，可以轻松的利用exgcd求出最小解，若某时某刻exgcd无解，则原模线性方程组无解。

大致代码如下：

typedef long long LL;
LL calc(){
	LL M=m[1],x=a[1];///第一组的解就是a[1],此时M之积为m[1]
    for(int i=2;i<=n;i++){
        LL g=gcd(M,m[i]),t=((a[i]%m[i]-x%m[i])%m[i]+m[i])%m[i];
        if(t%g!=0) return -1;//判断exgcd是否有解
        LL xx,y;
        exgcd(M,m[i],xx,y);
        xx=mul(xx,t/g,m[i]/g);//快速乘,防止爆long long
        x=xx*M+x;
        M=M*(m[i]/g);
        x=(x%M+M)%M;
    }
    return x%M;
}

啊…数学真是太奇妙了！