赫夫曼树(最优二叉树),又称最优树,是一“类”(并不一定是一棵)带权路径长度最短的树.

C语言实现最优二叉树——霍夫曼(Huffman)树算法 赫夫曼(Huffman)树又称最优二叉树或最优搜索树,是一种带权路径长度最短的二叉树。在许多应用中,常常赋给树中结点一个有某种意义的实数,称此实数为该结点的权。从树根结点到该结点之间的路径长度与该结点上权的乘积称为结点的带权路径长度(WPL),树中所有叶子结点的带权路径长度之和称为该树的带权路径长度,通常记为: 阅读详情

例:已知某系统在通信联络中只可能出现八种字符,其概率分别为
   0.05,0.29,0.07,0.08,0.14,0.23,0.03,0.11  试设计赫夫曼编码。

1.排序
   A      B      C      D   E      F      G      H
  0.03 , 0.05 , 0.07 , 0.08 , 0.11 , 0.14 , 0.23 , 0.29

2.      
<1>: 
               1.00
           0/        /1  
         0.58         0.42
        0/   /1     0/    /1
       0.29   H   0.19     G
      0/  /1    0/    /1
     0.15  F    D      E 
   0/    /1
  0.08    C
0/   /1
A     B 

WPL = A*5 + B*5 + C*4 + F*3 + H*2 + D*3 + E*3 + G*2 = 2.71
前缀编码:
 A:00000
 B:00001
 C:0001
 D:100
 E:101
 F:001
 G:11
 H:01
<2>:
   
                1.00
           0/          /1
          0.42         0.58
        0/   /1       0/    /1
       0.19   G     0.29      H
      0/   /1     0/    /1
   0.08     E   0.15      F
 0/  /1       0/    /1
A     B       C      D 
WPL = A*4 + B*4 + E*3 + G*2 + D*4 + C*4 + F*3 + H*2 = 2.71
前缀编码:
 A:0000
 B:0001
 C:1000
 D:1001
 E:001
 F:101
 G:01
 H:11

这题有两解了,出现这种情况的原因是:
出现两个相等的权和一个比这两个都小的权,这种情况下不能确定选择哪
个权和那个更小的权组合(比如:0.11,0.12,0.12).
所以,如果我们用手工去
求解,可能会得出很多种不同答案,它们的WPL值都一样,但形状不一,其
赫夫曼编码当然也相关甚大,这就给网络传输、编码、解码带来了很大的
难度,为了确保对于同一个问题无论在什么情况下得到的赫夫曼编码都是
一样的,这就会规定一定的顺序,具体怎么的,就不知道了...

赫夫曼树定义:假设有n个权值{w1,w2,...wn},试构造一棵有n个叶子结点的二叉树,
              每个叶子结点带权为wi,则其中带权路径长度WPL最小的二叉树称做
              最优二叉树或赫夫曼树。
赫夫曼树可以用于构造赫夫曼编程(前缀编码)。


结论:
赫夫曼树(最优二叉树),又称最优树,是一“类”(并不一定是一棵)带权路径长度最短的树。

PS:当然,赫夫曼树不一定要用赫夫曼算法构造,特例:1,2,3,4,5

http://bbs.csai.cn/bbs/view.Asp?Id=%7BD0E15691-E9E4-4194-BD86-A0332D19358D%7D

数据结构之赫夫曼树的算法介绍和实现 一、基础知识: (1)最优二叉树(赫夫曼树)的介绍: a、路径长度:从树中一个结点到另一个结点之间的分支构成这两个结点之间的路径,路径上分支数目称做路径长度。 b、树的路径长度:从树根到每一个结点之间的路径长度之和。上一篇介绍的完全二叉树就是这种路径长度最短的二叉树。 c、带权路径长度:结点的带权路径长度为从该结点到树根之间的路径产度与结点上权的乘积。树的带权路径长度为树中所有叶子结点的带 阅读详情

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B. Palm", title = "Prediction as a candidate for learning deep hierarchical models of data", year = "2012",}```Contact: rasmusbergpalm at gmail dot comDirectories included in the toolbox-----------------------------------`NN/` - A library for Feedforward Backpropagation Neural Networks`CNN/` - A library for Convolutional Neural Networks`DBN/` - A library for Deep Belief Networks`SAE/` - A library for Stacked Auto-Encoders`CAE/` - A library for Convolutional Auto-Encoders`util/` - Utility functions used by the libraries`data/` - Data used by the examples`tests/` - unit tests to verify toolbox is workingFor references on each library check REFS.mdSetup-----1. Download.2. addpath(genpath('DeepLearnToolbox'));Example: Deep Belief Network---------------------```matlabfunction test_example_DBNload mnist_uint8;train_x = double(train_x) / 255;test_x = double(test_x) / 255;train_y = double(train_y);test_y = double(test_y);%% ex1 train a 100 hidden unit RBM and visualize its weightsrand('state',0)dbn.sizes = [100];opts.numepochs = 1;opts.batchsize = 100;opts.momentum = 0;opts.alpha = 1;dbn = dbnsetup(dbn, train_x, opts);dbn = dbntrain(dbn, train_x, opts);figure; visualize(dbn.rbm{1}.W'); % Visualize the RBM weights%% ex2 train a 100-100 hidden unit DBN and use its weights to initialize a NNrand('state',0)%train dbndbn.sizes = [100 100];opts.numepochs = 1;opts.batchsize = 100;opts.momentum = 0;opts.alpha = 1;dbn = dbnsetup(dbn, train_x, opts);dbn = dbntrain(dbn, train_x, opts);%unfold dbn to nnnn = dbnunfoldtonn(dbn, 10);nn.activation_function = 'sigm';%train nnopts.numepochs = 1;opts.batchsize = 100;nn = nntrain(nn, train_x, train_y, opts);[er, bad] = nntest(nn, test_x, test_y);assert(er < 0.10, 'Too big error');```Example: Stacked Auto-Encoders---------------------```matlabfunction test_example_SAEload mnist_uint8;train_x = double(train_x)/255;test_x = double(test_x)/255;train_y = double(train_y);test_y = double(test_y);%% ex1 train a 100 hidden unit SDAE and use it to initialize a FFNN% Setup and train a stacked denoising autoencoder (SDAE)rand('state',0)sae = saesetup([784 100]);sae.ae{1}.activation_function = 'sigm';sae.ae{1}.learningRate = 1;sae.ae{1}.inputZeroMaskedFraction = 0.5;opts.numepochs = 1;opts.batchsize = 100;sae = saetrain(sae, train_x, opts);visualize(sae.ae{1}.W{1}(:,2:end)')% Use the SDAE to initialize a FFNNnn = nnsetup([784 100 10]);nn.activation_function = 'sigm';nn.learningRate = 1;nn.W{1} = sae.ae{1}.W{1};% Train the FFNNopts.numepochs = 1;opts.batchsize = 100;nn = nntrain(nn, train_x, train_y, opts);[er, bad] = nntest(nn, test_x, test_y);assert(er < 0.16, 'Too big error');```Example: Convolutional Neural Nets---------------------```matlabfunction test_example_CNNload mnist_uint8;train_x = double(reshape(train_x',28,28,60000))/255;test_x = double(reshape(test_x',28,28,10000))/255;train_y = double(train_y');test_y = double(test_y');%% ex1 Train a 6c-2s-12c-2s Convolutional neural network %will run 1 epoch in about 200 second and get around 11% error. %With 100 epochs you'll get around 1.2% errorrand('state',0)cnn.layers = { struct('type', 'i') %input layer struct('type', 'c', 'outputmaps', 6, 'kernelsize', 5) %convolution layer struct('type', 's', 'scale', 2) %sub sampling layer struct('type', 'c', 'outputmaps', 12, 'kernelsize', 5) %convolution layer struct('type', 's', 'scale', 2) %subsampling layer};cnn = cnnsetup(cnn, train_x, train_y);opts.alpha = 1;opts.batchsize = 50;opts.numepochs = 1;cnn = cnntrain(cnn, train_x, train_y, opts);[er, bad] = cnntest(cnn, test_x, test_y);%plot mean squared errorfigure; plot(cnn.rL);assert(er<0.12, 'Too big error');```Example: Neural Networks---------------------```matlabfunction test_example_NNload mnist_uint8;train_x = double(train_x) / 255;test_x = double(test_x) / 255;train_y = double(train_y);test_y = double(test_y);% normalize[train_x, mu, sigma] = zscore(train_x);test_x = normalize(test_x, mu, sigma);%% ex1 vanilla neural netrand('state',0)nn = nnsetup([784 100 10]);opts.numepochs = 1; % Number of full sweeps through dataopts.batchsize = 100; % Take a mean gradient step over this many samples[nn, L] = nntrain(nn, train_x, train_y, opts);[er, bad] = nntest(nn, test_x, test_y);assert(er < 0.08, 'Too big error');%% ex2 neural net with L2 weight decayrand('state',0)nn = nnsetup([784 100 10]);nn.weightPenaltyL2 = 1e-4; % L2 weight decayopts.numepochs = 1; % Number of full sweeps through dataopts.batchsize = 100; % Take a mean gradient step over this many samplesnn = nntrain(nn, train_x, train_y, opts);[er, bad] = nntest(nn, test_x, test_y);assert(er < 0.1, 'Too big error');%% ex3 neural net with dropoutrand('state',0)nn = nnsetup([784 100 10]);nn.dropoutFraction = 0.5; % Dropout fraction opts.numepochs = 1; % Number of full sweeps through dataopts.batchsize = 100; % Take a mean gradient step over this many samplesnn = nntrain(nn, train_x, train_y, opts);[er, bad] = nntest(nn, test_x, test_y);assert(er < 0.1, 'Too big error');%% ex4 neural net with sigmoid activation functionrand('state',0)nn = nnsetup([784 100 10]);nn.activation_function = 'sigm'; % Sigmoid activation functionnn.learningRate = 1; % Sigm require a lower learning rateopts.numepochs = 1; % Number of full sweeps through dataopts.batchsize = 100; % Take a mean gradient step over this many samplesnn = nntrain(nn, train_x, train_y, opts);[er, bad] = nntest(nn, test_x, test_y);assert(er < 0.1, 'Too big error');%% ex5 plotting functionalityrand('state',0)nn = nnsetup([784 20 10]);opts.numepochs = 5; % Number of full sweeps through datann.output = 'softmax'; % use softmax outputopts.batchsize = 1000; % Take a mean gradient step over this many samplesopts.plot = 1; % enable plottingnn = nntrain(nn, train_x, train_y, opts);[er, bad] = nntest(nn, test_x, test_y);assert(er < 0.1, 'Too big error');%% ex6 neural net with sigmoid activation and plotting of validation and training error% split training data into training and validation datavx = train_x(1:10000,:);tx = train_x(10001:end,:);vy = train_y(1:10000,:);ty = train_y(10001:end,:);rand('state',0)nn = nnsetup([784 20 10]); nn.output = 'softmax'; % use softmax outputopts.numepochs = 5; % Number of full sweeps through dataopts.batchsize = 1000; % Take a mean gradient step over this many samplesopts.plot = 1; % enable plottingnn = nntrain(nn, tx, ty, opts, vx, vy); % nntrain takes validation set as last two arguments (optionally)[er, bad] = nntest(nn, test_x, test_y);assert(er < 0.1, 'Too big error');```[![Bitdeli Badge](https://d2weczhvl823v0.cloudfront.net/rasmusbergpalm/deeplearntoolbox/trend.png)](https://bitdeli.com/free "Bitdeli Badge")

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文章目录一、相关概念1.节点的路径及路径长度2.节点的带权路径长度3.树的带权路径长度4.霍夫曼树二、构建步骤三、代码实现 一、相关概念 1.节点的路径及路径长度 路径:在树中,一个节点向下到达另一个节点的通路,称为路径。 路径长度:路径中经历的分支数。 图中节点1到节点4的路径就是:1->2,2->4。路径长度为2。 2.节点的带权路径长度 在树中,可以定义某个节点的权值,从根节点到此节点的路径长度与此节点的权值的乘积就是该节点的带权路径长度。 例如:上图中若定义节点4的权值为4,则其带权路

weixin_47306988的博客 2290
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