自然数幂的前缀和的求法的一些总结

这类问题一般是如下形式：

给定$n,k$，求：

$$\sum _{i=1}^n{i}^k$$

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如果在模数为质数的情况下，可以用拉格朗日差值的方法，在$O(klogk)$的时间内算出来。

如果有时不取模或者可以用浮点数，或者有其他用途时，可以用高斯消元在$k^3$的时间内处理，可以参考这道题。

如果是$NTT$模数，或者可以用浮点数的话，也可以使用伯努利数和FFT来求，可以参考这里，复杂度$O(klogk)$

但是有时取模，模数不是质数，那么就不好求取逆元了，所以我们还可以用第二类斯特林数来求，根据公式（假设$S_n^k$为第二类斯特林数,$C_n^m$为组合数）：

$$\begin{array}{rl}{x}^k=& \sum _{i=0}^k{S}_i^k{x}^i\\ =& \sum _{i=0}^k{S}_i^k{C}_x^{i}i!\end{array}$$

那么我们变换一下，最后的公式就是：

$$\begin{array}{rl}\sum _{i=1}^n{i}^k=& \sum _{i=0}^k{S}_k^i\frac{(n+1{)}^{i+1}}{i+1}\end{array}$$

具体可以参考这里,关于具体的题目可以看这里

大概就这样，简略的说一下。（溜了溜了XD