差分约束学习笔记

差分约束

引入

对于一个序列$\{x_1,x_2,x_3,\cdots,x_n\}$，我们得知关于它的一系列不等式，形如$x_1-x_2≤k_i$，然后我们可以求出一些东西，例子如下：

• $x_n-x_0$的最大最小值。

• 一个合法的$x$序列。

• 等等等

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对于上述问题，我们有什么好的解决方法呢？

我们可以观察学过的一个算法，最短路算法中的松弛操作：

$$dis[u]+w(u,v)≤dis[v]$$ （其实应该是<，为了方便理解加了等号。）
将其变形可以得到:

$$dis[u]-dis[v]≤-w(u,v)$$
这时我们可以将$dis[a]$看作$x_a$，$-w(a,b)$看作$x_a-x_b≤k_i$中的$k_i$，那么这个是不是正好照应了我们的不等式关系？

那么我们可以将其转换为一条有边权的有向边，然后通过SPFA（因为大多数有负权）跑最短路或者最长路就可得到答案。

后期更新。。。。。。