字典树（Trie树）附例题（统计难题 HDU - 1251+Xor Sum HDU - 4825）

本文深入解析字典树（Trie树）的基础理论、基本性质、优点及定义，通过实例展示插入与查找操作，最后提供两道实战题目，帮助读者掌握字典树的应用技巧。

一、基础理论：
字典树，又称单词查找树，Trie树，是一种树形结构，是一种哈希树的变种。典型应用是用于统计，排序和保存大量的字符串（但不仅限于字符串），所以经常被搜索引擎系统用于文本词频统计。

二、基本性质：

根节点不包含字符，除根节点之外每个子节点都包含一个字符。
从根节点开始到某一终止节点，路径上的字符连接起来，就是该终止节点对应的字符串。
每个终止节点代表的字符串都是不相同的。

三、优点：

快速查找检索，时间复杂度很低。
最大限度地节约储存空间。
利用字符串的公共前缀来减少查询时间，最大限度地减少无谓的字符串比较，查询效率比哈希树高。

四、字典树定义

int tot；初始化为1，用于给节点编号。
int trie[maxn][26]；字典树的储存，trie[ i ][ j ]表示第i个节点的第j个孩子。
bool isend[maxn]；isend[ i ]用于判断第i个节点是否是某个字符串的结束字符，常用查询整个单词时。

五、基本操作：
插入操作（Insert）
假设现在有个这样的Trie树（如图），tot=14（已有14个子节点）；

我们往树里再插入这两个单词（bcd、bca）（其实插入时就这两种类型）；
①先看第一个bcd：第一个字符‘b’，根节点有这个孩子（‘b’），即trie[root][b]!=0（root=0），那么就不用再添加了，直接往下走，root= trie[root][b]；
第二个字符‘c’，巧了也有这个节点trie[root][c]!=0，还是直接往下走，root= trie[root][c]；
第三个字符‘d’，树上也有这个节点，trie[root][c]!=0，所以一个新节点也不需要加，那么这个’d’为“bcd”的终止节点，记isend[root]==true（此时root为‘b’的编号，下同），插入完成。

②在看第二个字符串“bca”，前两位与第一个字符相同，就不啰嗦了，到第三个节点时，发现这一路上没有‘c’这个节点，trie[root][c]==0（不要说旁边路上有‘c’节点啊，那是别人家的孩子！），那么我们就需要添加新节点‘c’，trie[root][c]现在等于0，我们给他一个编号（++tot），这是它的专属编号了，并且这个节点为终止节点，记isend[root]==true；插入完成。
（其实看懂这些，查找操作也就懂了）
void Insert(char *s,int root)
{
    for(int i=0; s[i]; i++)
    {
        int x=s[i]-'a';
        if(trie[root][x]==0)//现在插入的字母在之前同一节点处未出现过
        {
            trie[root][x]=++tot;//字母插入一个新的位置，否则不做处理
        }
        root=trie[root][x];//为下个字母的插入做准备
    }
    //isend[root]=true;标志该单词末位字母的尾结点，在查询整个单词时用到
}
查找操作（Find）
bool Find(char *s,int root)
{
    for(int i=0; s[i]; i++)
    {
        int x=s[i]-'a';
        if(trie[root][x]==0)return false;//以root为头结点的x字母不存在，返回0
        root=trie[root][x];//为查询下个字母做准备
    }
    return true;
    //查询整个单词时，应该return isend[root]
}

六、例题

统计难题 HDU - 1251（题目链接戳这里）板子题（裸）
题意：Ignatius最近遇到一个难题,老师交给他很多单词(只有小写字母组成,不会有重复的单词出现),现在老师要他统计出以某个字符串为前缀的单词数量(单词本身也是自己的前缀).

#include <set>
#include <map>
#include <cmath>
#include <stack>
#include <queue>
#include <vector>
#include <string>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <sstream>
#include <iomanip>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define clr(str,x) memset(str,x,sizeof(str))
#define FRER() freopen("in.txt","r",stdin);
#define FREW() freopen("out.txt","w",stdout);
#define INF 0x3f3f3f3f
#define maxn 400000

typedef long long int ll;
using namespace std;
int trie[maxn][26];
int tot=1;
int sum[maxn];
void Insert(char *s)
{
    int n=strlen(s);
    int root=0;
    for(int i=0; i<n; i++)
    {
        int x=s[i]-'a';
        if(trie[root][x]==0)
            trie[root][x]=tot++;
        sum[trie[root][x]]++;
        root=trie[root][x];
    }
}
int Find(char *ss)
{
    int n=strlen(ss);
    int root=0;
    for(int i=0; i<n; i++)
    {
        int x = ss[i] - 'a';
        if(trie[root][x]==0)
            return 0;
        root=trie[root][x];
    }
    return sum[root];
}
int main()
{
    //FRER()
    //FREW()
    char s[12];
    while(cin.getline(s,sizeof(s)))
    {
        if(strlen(s)==0)
            break;
        Insert(s);
    }
    while(cin>>s)
        cout<<Find(s)<<endl;
    return 0;
}

Xor Sum HDU - 4825（题目链接戳这里）
题意：Zeus 和 Prometheus 做了一个游戏，Prometheus 给 Zeus 一个集合，集合中包含了N个正整数，随后 Prometheus 将向 Zeus 发起M次询问，每次询问中包含一个正整数 S ，之后 Zeus 需要在集合当中找出一个正整数 K ，使得 K 与 S 的异或结果最大。Prometheus 为了让 Zeus 看到人类的伟大，随即同意 Zeus 可以向人类求助。你能证明人类的智慧么？
题解：建树，把数字转化为二进制，二进制不足35位（大于32位即可）的在前面填充上‘0’，存入树中；
求解时，把要求的数字转化为二进制（同上），开始查找（详细可看代码注释）

#include <set>
#include <map>
#include <cmath>
#include <stack>
#include <queue>
#include <vector>
#include <string>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <sstream>
#include <iomanip>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define clr(str,x) memset(str,x,sizeof(str))
#define FRER() freopen("in.txt","r",stdin);
#define FREW() freopen("out.txt","w",stdout);
#define INF 0x3f3f3f3f
#define maxn 3000055

typedef long long int ll;
using namespace std;
char s[40],t[40];
ll trie[3000055][5];
ll len,tot=1;
map<int,int> sum;
void Insert(ll temp)
{
    ll root=0;
    for(int i=0; i<35; i++)
    {
        int x=s[i]-'0';
        if(trie[root][x]==0)
            trie[root][x]=tot++;
        root=trie[root][x];
    }
    sum[root]=temp;
}
ll Get(char *s)
{
    ll root=0;
    for(int i=0; i<35; i++)
    {
        int x=s[i]-'0';
        if(trie[root][x]==0)
        {
            //若这一节点不存在，则取反去找；（为了保证异或最大）
            root=trie[root][!x];
        }
        else
        {
            //若这一节点存在
            if(trie[root][!x])//若取反的节点存在，就去取反的那个节点（为了保证异或最大）
                root=trie[root][!x];
            else//不存在，就继续往下走吧
                root=trie[root][x];
        }
    }
    return sum[root];
}
void change(ll x)
{
    memset(s,0,sizeof(s));
    memset(t,0,sizeof(t));
    for(int i=0; x; i++)
    {
        if(x%2==0)
            s[i]='0';
        else
            s[i]='1';
        x/=2;
    }
    int n=strlen(s);
    for(int i=n; i<35; i++)
        s[i]='0';
    for(int i=0,j=34; i<35; j--, i++)
        t[j]=s[i];
    strcpy(s,t);
}
int main()
{
    int T,n1,m1;
    ll x;
    int Case=1;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        tot=1;
        memset(trie,0,sizeof(trie));
        sum.clear();
        scanf("%d%d",&n1,&m1);
        for(int i=0; i<n1; i++)
        {
            scanf("%lld",&x);
            change(x);
            Insert(x);
        }
        printf("Case #%d:\n",Case++);
        for(int i=0; i<m1; i++)
        {
            scanf("%lld",&x);
            change(x);
            printf("%lld\n",Get(s));
        }
    }

    return 0;
}