证明精确的4SAT是NP-完全问题

本文通过将3SAT问题归约到精确4SAT问题,证明了精确4SAT问题的NP完全性。具体地,文章详细展示了如何通过添加额外变量的方式将3SAT中的每个子句转换成符合精确4SAT要求的形式。

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题目

在精确的4SAT(EXACT 4SAT)问题中,输入为一组字句,每个字句都是恰好4个文字的析取,且每个变量最多在每个字句中出现一次。目标是求它的满足赋值——如果该赋值存在。证明精确的4SAT是NP完全问题。

证明

由于3SAT问题是NP-完全问题,若能将3SAT问题归约到精确的4SAT问题,则可证明精确的4SAT问题也是NP-完全问题。

以下是将3SAT问题归约到精确的4SAT问题:

3SAT:I=(a1∨a2∨a3)(a4∨a5∨a6)…(ak∨ak+1∨ak+2);

精确的4SAT问题要求每个变量最多在每个字句中出现一次,因此首先通过压缩字句去重,对于I中的字句i:

(1)若存在几个变量相等,则只保留其中一个;

(2)若存在两个变量互反,则该字句恒为true,可以将其从I中去除;

使得每个变量最多在每个字句中出现一次。

在I中的字句中添加变量,使得每个字句恰有4个变量。

(1)字句(a1∨a2∨a3)

可以转化为(a1∨a2∨a3∨x)(a1∨a2∨a3∨~x)。
若(a1∨a2∨a3)为真,(a1∨a2∨a3∨x)(a1∨a2∨a3∨~x)显然为真;
由于x和~x必有一个为假,故其对应的‘a1∨a2∨a3’必为真;

(2)字句(a1∨a2)

可以转化为(a1∨a2∨x∨y)(a1∨a2∨~x∨y)(a1∨a2∨x∨~y)(a1∨a2∨~x∨~y)。
若(a1∨a2)为真,则(a1∨a2∨x∨y)(a1∨a2∨~x∨y)(a1∨a2∨x∨~y)(a1∨a2∨~x∨~y)显然为真;
若(a1∨a2∨x∨y)(a1∨a2∨~x∨y)(a1∨a2∨x∨~y)(a1∨a2∨~x∨~y)为真,
由于‘x∨y’,‘~x∨y’,‘x∨~y’和‘~x∨~y’必有一个为假,
故其对应的‘a1∨a2’必为真。

(3)对于字句(a1)同理。

综上,3SAT问题可以归约到精确的4SAT问题,并且归约过程可以在多项式时间内完成,故由3SAT问题是NP-完全问题可以得到精确的4SAT问题也是NP-完全问题。

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