离散练习

1 . 问:方程$x_1+x_2+x_3+x_4+x_5 = 21$有多少个解?其中$x_i$(i = 1,2,3,4,5)是非负整数,并且使得
(a)$x_1\geq1$
(b)$x_i\geq2,i=1,2,3,4,5$
(c)$0\leq x_1\leq10$
(d)$0\leq x_1 \leq 3,1\leq x_2<4,x_3\geq15$
解:(a)$C^{5-1}_{(21-1)+5-1}=10626$
(b)$C^{5-1}_{(21-2*5)+5-1}=1365$
(c)$C^{5-1}_{21+5-1}-C^{5-1}_{(21-11)+5-1}=11649$
(d)$C^{5-1}_{(21-1-15)+5-1}-C^{5-1}_{(21-1-15-4)+5-1}-C^{5-1}_{(21-1-15-3)+5-1}=106$
//(d)先减去$x_1\geq4$的情况,再减去$x_2\geq4$的情况

2.$(x_1+x_2+\cdots +x_t)^n$展开后有多少不同的项?
解:把问题看成是,参考课本的1美元,2美元,$\cdots$选出五张的题目.
即有$x_1,x_2,x_3,\cdots ,x_t$中选n个出来,有多少种方式?
参考课本解法,隔板有t-1个,选n个出来,即在(t-1+n)个位置安排,t-1个隔板,和n个数的方法数,
即,$C^n_{t+n-1}$或$C^{t-1}_{t+n-1}$不同的方法.