[DP] 51Nod 1301 集合异或和

最新推荐文章于 2020-12-01 20:47:43 发布

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本文介绍了一种结合位运算和动态规划解决特定类型问题的方法。通过枚举两个数在二进制位上首次出现差异的位置，利用动态规划记录状态，解决了在限定条件下的计数问题。该算法的时间复杂度为O(n²log n)。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

$Solution$

感觉是挺有趣的一道题qwq
枚举 $A$ 和 $B$ 从高到底第一个不同的位 $k$ 。
$A\lt B$ 可以转化成 $A~xor~B\in[2^k, 2^{k+1}]$ ，且 $B~or~2^k = B$ 。
这样就保证了 $A$ 和 $B$ 在 $k$ 之前位都相同，并且 $B$ 在第 $k$ 位大。
DP一下。
$dp_{i,j,0/1}$ 表示考虑前 $i$ 个数， $j=A~xor~B$ ， $B$ 的第 $k$ 位为 $0/1$ 。
时间复杂度 $\mathcal{O}(n^2\log n)$ 。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 2050;
const int MOD = 1000000007;

int dp[N][N][2];
int n, m, ans;

inline void add(int &x, int a) {
    x += a; while (x >= MOD) x -= MOD;
}

int main(void) {
    freopen("1.in", "r", stdin);
    freopen("1.out", "w", stdout);
    cin >> n >> m;
    for (int k = 0; k <= 10; k++) {
        dp[0][0][0] = 1;
        for (int i = 1; i <= max(n, m); i++) {
            for (int j = 0; j < 2048; j++)
                for (int d = 0; d < 2; d++) {
                    dp[i][j][d] = dp[i - 1][j][d];
                    if (i <= n) add(dp[i][j][d], dp[i - 1][j ^ i][d]);
                    if (i <= m) add(dp[i][j][d], dp[i - 1][j ^ i][d ^ (i >> k & 1)]);
            }
        }
        for (int i = 1 << k; i < (1 << k + 1); i++)
            add(ans, dp[max(n, m)][i][1]);
    }
    cout << ans << endl;
    return 0;
}