扩展欧几里得算法

扩展欧几里得算法

方程如下：

ax + by = gcd(a,b)(类似这样的方程)

现在我们假设 a > b,接下来就要有两种情况

1) 那么当b == 0的时候gcd(a,b)=a;

那么我们现在要解的这个方程就是

ax=a

==> x = 1, y = 0;

2)当b!=0的时候，我们可以设：

ax1+by1=gcd(a,b)

bx2+(a%b)y2=gcd(b,a%b)‚

又因为：gcd(a,b)=gcd(b,a%b)

由‚所以我们可以得到：==>ax1+by1=bx2+(a%b)y2

那么现在a%b又可以写成a-floor(a/b)*b ---[这里面floor()是向下取整的意思]

==>ax1+by1=bx2+[a-floor(a/b)*b]*y2

==>x1*a+y1*b=y2*a+[x2-floor(a/b)*y2]*b

我们现在让系数相等也就是a和b当作未知数

==> x1 = y2

==> y1 = x2-floor(a/b)*y2

那么我们就得到了扩展欧几里得的递归算法

方程a*x+b*y=c

有解的情况是:c mod gcd(a,b)==0

扩展欧几里得（Exgcd模板）：

void Ex_gcd(int a, int b, int &x, int &y)
{
    if(b == 0)//递归出口
    {
        x = 1;
        y = 0;
        return;
    }
    int x1, y1;
    Ex_gcd(b, a%b, x1, y1);
    x = y1;
    y = x1-(a/b)*y1;
}

当然要先判断有没有解哦，有解的情况是:c mod gcd(a,b)==0

例如求解6x+2y=6,

首先判断是否有解；

然后运行上面的代码，结果是x=0,y=1;

此结果为6x+2y=gcd(6,2)的解。

所以结果为x=0*3,y=1*3;(其中3为6/gcd(6,2))

好了！