Newcoder 13 F.监视任务(贪心+BIT)

本文介绍了一种解决狙击监视防卫问题的贪心算法,通过将监视区间按右端点排序并使用树状数组进行快速查询,实现选取最少监视点以满足多个委托的要求。时间复杂度为O(nlogn)。

摘要生成于 C知道 ,由 DeepSeek-R1 满血版支持, 前往体验 >

Description

RekiRekiReki在课余会接受一些民间的鹰眼类委托,即远距离的狙击监视防卫。
RekiRekiReki一共接到了mmm份委托,这些委托与nnn个直线排布的监视点相关。
iii份委托的内容为:对于区间[li,ri][l_i,r_i][li,ri]中的监视点,至少要防卫其中的kik_iki个。
RekiRekiReki必须完成全部委托,并且希望选取尽量少的监视点来防卫。

Input

第一行,两个正整数n,mn,mn,m

接下来mmm行,每行三个整数li,ri,kil_i,r_i,k_ili,ri,ki

(n≤5⋅105,m≤106,li≤ri,ki≤ri−li+1)(n\le 5\cdot 10^5,m\le 10^6,l_i\le r_i,k_i\le r_i-l_i+1)(n5105,m106,liri,kirili+1)

Output

一行,一个整数,即所需防卫的最少监视点数量。

Sample Input

11 5
3 7 3
8 10 3
6 8 1
1 3 1
10 11 1

Sample Output

6

Solution

贪心,把所有区间按右端点排序,每次尽可能往右边放监视点,用树状数组维护监视点以便快速查询当前考虑区间是否合法,时间复杂度O(nlogn)O(nlogn)O(nlogn)

Code

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<ctime>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int>P;
const int INF=0x3f3f3f3f,maxn=1000005;
struct BIT 
{
	#define lowbit(x) (x&(-x))
	int b[maxn],n;
	void init(int _n)
	{
		n=_n;
		for(int i=1;i<=n;i++)b[i]=0;
	}
	void update(int x,int v)
	{
		while(x<=n)
		{
			b[x]+=v;
			x+=lowbit(x);
		}
	}
	int query(int x)
	{
		int ans=0;
		while(x)
		{
			ans+=b[x];
			x-=lowbit(x);
		}
		return ans;
	}
}bit;
int n,m,vis[maxn];
struct node
{
	int l,r,k;
	bool operator<(const node&b)const
	{
		if(r!=b.r)return r<b.r;
		if(l!=b.l)return l<b.l;
		return k>b.k;
	}
}a[maxn];
int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=m;i++)scanf("%d%d%d",&a[i].l,&a[i].r,&a[i].k);
	sort(a+1,a+m+1);
	bit.init(n);
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		int l=a[i].l,r=a[i].r,k=a[i].k; 
		int num=bit.query(r)-bit.query(l-1);
		if(num>=k)continue;
		for(int j=r;j>=l;j--)
			if(!vis[j])
			{
				vis[j]=1;
				num++;
				bit.update(j,1);
				if(num==k)break;
			}
	}
	printf("%d\n",bit.query(n));
	return 0;
}

<think>首先,用户的问题是:“请问贪心算法的正确性证明方法”。根据系统级指令,我需要使用中文回答,并确保LaTeX语法正确,包括行内数学表达式用$...$和独立公式用$$...$$。 用户提供了几个引用内容,这些是关于贪心算法正确性证明的。引用[1]到[5]讨论了贪心算法的证明方法,如归纳法(对算法步数归纳、对问题规模归纳)和交换论证法。 关键点: - 归纳法:包括第一数学归纳法和第二数学归纳法。 - 交换论证法:从最优解出发,通过交换或替换元素,证明贪心解不会变坏,最终得到矛盾或证明等价。 我的回答需要结构清晰,帮助用户逐步解决问题。参考用户意图,用户可能在学习贪心算法,需要了解如何证明其正确性。 回答结构: 1. **引言**:简要介绍贪心算法和证明正确性的重要性。 2. **证明方法**:详细解释归纳法和交换论证法。 - 对于归纳法,提供例子和步骤。 - 对于交换论证法,解释步骤和例子。 3. **例子**:使用一个简单的贪心算法例子来说明证明方法,如活动选择问题或硬币找零问题。 4. **总结**:概括要点。 5. **相关问题**:生成相关问题,以鼓励用户进一步学习。 确保LaTeX格式: - 行内数学表达式:如$P(n)$,$O(n)$。 - 独立公式:如果需要,单独成段,用$$...$$。 引用标识:在回答中自然地添加引用标识,如[^1]、[^2]等,基于提供的引用。 提供的引用: - [^1]: 归纳法和交换论证法。 - [^2]: 归纳法和交换论证法。 - [^3]: 数学归纳法和交换论证法。 - [^4]: 交换论证法的思想。 - [^5]: 证明贪心算法是最优解的方法。 在回答中,我可以引用这些来支持内容。 **生成相关问题**:系统指令要求生成相关问题。在最后添加“§§相关问题§§”部分,列出3-5个相关问题。 例如: 1. 贪心算法在哪些情况下可能不适用? 2. 如何选择贪心策略? 3. 贪心算法与动态规划的区别是什么? 现在,构建回答。 **步骤1: 引言** - 解释贪心算法:贪心算法在每一步选择局部最优解,希望达到全局最优解。但证明其正确性很重要,因为不是所有问题都适用贪心策略。 **步骤2: 证明方法** - **归纳法**: - 第一数学归纳法:证明基础情况成立,然后假设第n步成立,证明第n+1步成立。 - 第二数学归纳法:证明基础情况,假设所有小于n的情况成立,证明n成立。 - 例子:活动选择问题[^1]。 - **交换论证法**: - 假设存在一个最优解,然后通过交换元素,将其转换为贪心解,而不恶化解的质量。 - 例子:最小延迟调度[^1]。 **步骤3: 例子** - 使用一个简单例子,如硬币找零问题(如果贪心策略适用),但硬币找零可能不总是贪心最优,所以选择活动选择问题。 - 活动选择问题:给定活动起始和结束时间,选择最大兼容活动集。贪心策略:按结束时间排序,选择最早结束的。 - 证明:用归纳法或交换论证法。 **步骤4: 总结** - 概括证明方法。 **步骤5: 相关问题** - 列出3-5个问题。 确保回答真实可靠:基于标准算法知识,引用提供的材料。 LaTeX示例: - 行内:$P(n)$ - 独立:如果需要,如定义公式。 最终回答用中文。</think>### 贪心算法的正确性证明方法 贪心算法是一种在每一步选择中,都采取当前状态下最优(即局部最优)决策的策略,旨在通过这些局部最优解组合得到全局最优解。然而,贪心算法并不总是能保证全局最优性,因此证明其正确性至关重要。常用的证明方法包括**归纳法**和**交换论证法**。下面我将逐步解释这些方法,并辅以示例,确保内容清晰易懂。证明过程基于数学严谨性,参考了算法领域的标准知识[^1][^2][^3]。 #### 1. **归纳法** 归纳法通过数学归纳原理证明贪心算法的正确性,适用于问题结构具有递归或子问题性质的情况。主要包括两种形式: - **第一数学归纳法**:证明基础情况成立,再假设第 $n$ 步成立,推导第 $n+1$ 步成立。 - **步骤**: 1. **基础步骤**:证明贪心策略对最小规模问题(如 $n=1$)成立。 2. **归纳步骤**:假设对规模 $n$ 的问题成立,证明在贪心选择下,规模 $n+1$ 的问题也成立。 - **示例:活动选择问题** 问题描述:给定一组活动(每个活动有开始和结束时间),选择最大兼容活动集(即活动不重叠)。贪心策略:按结束时间升序排序,每次选择最早结束的活动[^1]。 证明: - 基础步骤:当只有一个活动时,贪心选择显然最优。 - 归纳步骤:假设对前 $k$ 个活动成立。考虑第 $k+1$ 个活动:如果其开始时间不早于已选活动的结束时间,贪心策略将其纳入;否则跳过。这保证了兼容性最大化,因为更早结束的活动留出更多时间给后续活动[^1][^3]。 数学表达:设 $S_k$ 为前 $k$ 个活动的最优解,则 $S_{k+1} = S_k \cup \{a_{k+1}\}$(如果兼容),否则 $S_{k+1} = S_k$。通过归纳,贪心解覆盖所有可能。 - **第二数学归纳法**:证明基础情况成立,再假设所有小于 $n$ 的规模成立,推导规模 $n$ 成立。 - **适用场景**:问题规模递归依赖于更小子问题,如最优装载问题(贪心按重量升序装载)[^1][^3]。 - **步骤**: 1. 基础步骤:$n=1$ 时成立。 2. 归纳步骤:假设所有 $k < n$ 时贪心策略成立,证明 $n$ 时成立。通过分解子问题,确保贪心选择不破坏最优性。 归纳法的核心是:贪心选择保留了问题的最优子结构(即局部最优能组合成全局最优)[^2][^5]。但需注意,归纳法要求问题具有“贪心选择性质”(greedy choice property),否则证明可能失败。 #### 2. **交换论证法** 交换论证法(Exchange Argument)通过比较贪心解与一般最优解,证明贪心解不劣于任何最优解。适用于问题元素可“交换”或“替换”的场景[^1][^4]。 - **步骤**: 1. **假设存在最优解**:设 $O$ 是任意一个最优解,$G$ 是贪心解。 2. **定义转换规则**:构造一个转换过程,逐步将 $O$ 中的元素替换为 $G$ 中的元素,而不恶化解的质量(如目标函数值不变坏)。 3. **证明转换可行**:确保转换在有限步内结束,且最终 $O$ 被转换为 $G$ 或其等价形式。 4. **推导矛盾**:如果贪心解 $G$ 不是最优,则通过转换后 $O$ 会变成 $G$,但 $G$ 的质量未变坏,矛盾。因此 $G$ 必须最优[^4][^5]。 - **示例:最小延迟调度问题** 问题描述:安排作业(每个作业有处理时间和截止时间),最小化最大延迟。贪心策略:按截止时间升序排序(最早截止时间优先)[^1]。 证明: - 假设存在最优解 $O$ 与贪心解 $G$ 不同。 - 找到 $O$ 中第一个不按贪心顺序的作业对(如作业 $i$ 在 $j$ 前,但 $d_i > d_j$)。 - 交换 $i$ 和 $j$ 的顺序:计算交换后延迟不会增加(因为 $d_j \leq d_i$,交换可能减少延迟)。 - 重复交换,最终 $O$ 转换为 $G$,且延迟未变坏,故 $G$ 最优[^1][^4]。 数学表达:设目标函数为最大延迟 $L_{\max}$,交换后 $L_{\max}' \leq L_{\max}$,证明 $G$ 最小化 $L_{\max}$。 交换论证法的优势在于它能处理非递归问题,但要求问题具有“交换不变性”(交换元素不影响可行性)[^2][^4]。 #### 总结 - **归纳法**:适合子问题递归结构,强调步数或规模归纳。 - **交换论证法**:适合元素可比较和交换的问题,从最优解出发逐步转换。 - **关键点**:证明前需验证贪心策略是否满足两个性质——贪心选择性质(局部最优能导向全局最优)和最优子结构(问题可分解)。如果这些性质不成立,贪心算法可能失败(如部分背包问题贪心最优,但0-1背包问题贪心不一定最优)[^3][^5]。 在实践中,选择证明方法取决于问题特性。建议通过经典问题(如活动选择、最小延迟调度)练习证明,以加深理解[^1][^2][^3]。
评论
添加红包

请填写红包祝福语或标题

红包个数最小为10个

红包金额最低5元

当前余额3.43前往充值 >
需支付:10.00
成就一亿技术人!
领取后你会自动成为博主和红包主的粉丝 规则
hope_wisdom
发出的红包
实付
使用余额支付
点击重新获取
扫码支付
钱包余额 0

抵扣说明:

1.余额是钱包充值的虚拟货币,按照1:1的比例进行支付金额的抵扣。
2.余额无法直接购买下载,可以购买VIP、付费专栏及课程。

余额充值