Newcoder 110 E.Pocky游戏（状压DP）

最新推荐文章于 2023-08-08 16:42:55 发布

原创最新推荐文章于 2023-08-08 16:42:55 发布 · 481 阅读

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状压DP

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本文介绍了一种社交活动中男孩和女孩进行的pockypockypocky传递游戏，旨在通过算法找出团队难度的最小可能总和。游戏涉及两队间的竞争，其中一方需计算最优身高分配策略以降低传递难度。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description

社交活动中有 $n$ 个男孩和 $n$ 个女孩。

他们玩的其中一场比赛是通过 $p o c k y$ 传递橡皮筋( $p o c k y$ 是一种长条饼干)。

与正常的社交活动游戏不同，只有两支队伍，男队和女队。

游戏规则如下，

1.两队都有 $n$ 个编号从 $1$ 到 $n$ 的马甲。

2.对手队将给出长度为 $m$ 的整数序列 $a_1,...,a_m$ 。所有数字将在 $1$ 到 $n$ （含 $n$ ）之间，并且所有相邻数字都不相同（对于所有 $1≤i<m，ai≠ai+11\le i<m，a_i\neq a_{i+1}$ ）。

3.在对手队给出序列之后，另一队开始计划背心的穿着策略。请注意，团队成员在游戏过程中不能交换背心。

4.当比赛开始时，橡皮筋将被放在穿着 $a_1$ 编号的背心的队员嘴中的 $p o c k y$ 上。然后，穿着 $a_1$ 编号的背心的队员必须将橡皮筋传递给穿着 $a_2$ 编号的背心的队员，而不能用手,如此进行下去…。当橡皮筋通过 $m - 1$ 次并且已经在穿着 $a_m$ 编号的背心的队员的 $p o c k y$ 上时，游戏将结束。

5.第一队完成是胜利的队。

$S h i k y$ 是算法大师。他从未在任何战略游戏中失利。他相信他会像以前一样赢得这场比赛。

他发现两名队员之间的身高差距越大，他们之间的橡皮筋越难通过。

基于这一观察，他定义了一次传递橡皮筋的难度为身高差的绝对值。

你是 $S h i k y$ 对手队伍的领导者。

你知道 $S h i k y$ 编写了一个程序来计算他的团队难度的最小可能总和。

既然你不想输，你决定为你的团队编写一个具有相同功能的程序。

PS ：由于 $S h i k y$ 有女朋友，所以你不能引诱他获取源代码,而且他女朋友没参加这场比赛( $2333333$

Input

第一行有两个整数 $n$ 和 $m$ 。它表明有 $n$ 个男孩和 $n$ 个女孩，而 $S h i k y$ 的团队会给你一个长度为 $m$ 的序列。

第二行有 $n$ 个整数 $h_1，h_2 ...，h_n$ ，表示你所有团队成员的身高。

第三行有 $m$ 个整数 $a_1，a_2 ...，a_m$ ，表示 $S h i k y$ 团队给出的序列。

$(1≤n≤20,2≤m≤1000,120≤hi≤240,1≤ai≤n,ai≠ai+1)(1\le n\le 20,2\le m\le 1000,120\le h_i\le 240,1\le a_i\le n,a_i\neq a_{i+1})$

Output

输出一个整数表示团队难度的最小可能总和。

Sample Input

3 3
170 175 180
1 2 3

Sample Output

Solution

状压 $D P$ ，从低到高安排身高，以 $d p [S]$ 表示已经给 $S$ 状态的人安排好了前 $n u m [S]$ 个身高，其中 $n u m [S]$ 表示 $S$ 二进制表示中 $1$ 的个数，对于 $S$ 中为 $1$ 的位置 $x$ ，考虑给 $x$ 身高为 $h_{num[S]}$ ，那么把 $x$ 安排进去之后，对团队难度的贡献分为两部分：正部分为 $x$ 与 $S$ 中为 $1$ 位置 $y$ 的相邻次数，因为 $y$ 的身高必然小于 $x$ ，而负部分为 $x$ 与 $S$ 中为 $0$ 位置 $y$ 的相邻次数，因为 $y$ 的身高必然大于 $x$ ，记 $n u m [x] [y]$ 为 $a_1,...,a_m$ 中 $x, y$ 相邻的次数，那么即可 $O (n)$ 统计该贡献，记为 $z$ ，进而有转移
$dp[S]=min(dp[S],dp[S-2^x]+z\cdot h_{num[S]})$
$dp[2^n-1]$ 记为答案，时间复杂度 $O(n2⋅2n)O(n^2\cdot 2^n)$

Code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int INF=0x3f3f3f3f,maxn=(1<<20)+5;
int n,m,h[22],a[1005],cnt[22][22],dp[maxn],num[maxn];
int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&h[i]);
	sort(h+1,h+n+1);
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		scanf("%d",&a[i]);
		a[i]--;
		if(i>1)cnt[a[i]][a[i-1]]++,cnt[a[i-1]][a[i]]++;
	}
	int N=1<<n;
	num[0]=0;
	for(int i=1;i<N;i++)num[i]=num[i/2]+(i&1);
	for(int i=1;i<N;i++)dp[i]=INF;
	dp[0]=0; 
	for(int S=1;S<N;S++)
		for(int x=0;x<n;x++)
			if((S>>x)&1)
			{
				int y=0;
				for(int i=0;i<n;i++)
					if((S>>i)&1)y+=cnt[i][x];
					else y-=cnt[i][x];
				dp[S]=min(dp[S],dp[S^(1<<x)]+y*h[num[S]]);
			}
	printf("%d\n",dp[N-1]);
	return 0;
}