Newcoder 110 A.最大乘积（数论）

Description

这题要你回答$T$个询问，给你一个正整数$S$，若有若干个正整数的和为$S$，则这若干的数的乘积最大是多少?请输出答案除以$2000000000000000003$(共有$17$ 个零) 的余数。

Input

输入的第一行有一个正整数$T$，代表该测试数据含有多少组询问。
接下来有$T $行，每个询问各占 $1$ 行，包含$ 1$ 个正整数，代表该询问的 $S$ 值。

$(1\le T\le 100,1\le S\le 2000)$

Output

对于每个询问，请输出答案除以$2000000000000000003$(共有$17$ 个零) 的余数。

Sample Input

10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
100

Sample Output

1
2
3
4
6
9
12
18
27
7412080755407364

Solution

数学归纳法可以证明把$n$拆成尽可能多的$3$以及不超过两个$2$的组合是最优解，此时有
$$f(3k)=3^k,f(3k+1)=4\cdot 3^{k-1},f(3k+2)=2\cdot 3^k$$
Code

#include<cstdio>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll mod=2000000000000000003ll;
int main()
{
	int T,n;
	scanf("%d",&T);
	while(T--)
	{
		scanf("%d",&n);
		ll ans=1;
		if(n%3==0)
		{
			n/=3;
			for(int i=1;i<=n;i++)ans=3ll*ans%mod;
		}
		else if(n%3==1)
		{
			if(n>1)
			{
				ans=4;
				n=(n-4)/3;
				for(int i=1;i<=n;i++)ans=3ll*ans%mod;
			}
		}
		else
		{
			ans=2;
			n=(n-2)/3;
			for(int i=1;i<=n;i++)ans=3ll*ans%mod;
		}
		printf("%lld\n",ans);
	}
	return 0;
}