Newcoder 143 I.vcd（BIT）

Description

一个点集$S$是合法的当且仅当对该集合的每个子集$T$，都存在三元组$(a,l,r)$，使得$h(a,l,r)\cap S=T$，其中h(a,l,r)={(x,y)∣x≥a,l≤y≤r}h(a,l,r)=\{(x,y)|x\ge a,l\le y\le r\}h(a,l,r)={(x,y)∣x≥a,l≤y≤r}

给出$n$个点组成的点集，找出其合法非空子集个数

Input

第一行一整数$n$表示点数，之后$n$行每行输入一个点的横纵坐标$x,y$

$(1\le n\le 10^5,1\le x,y\le 10^9)$

Output

输出所给点集的合法子集个数，结果模$998244353$

Sample Input

3
1 1
2 2
3 3

Sample Output

6

Solution

1.单点集必然可以，方案数$n$

2.两个点的点集，若两点纵坐标相同则不行，其他情况都可以，统计纵坐标为$i$出现的次数$nu{m}_i$，那么方案数为$C_n^2-\sum C_{nu{m}_i}^2$

3.三个点的点集，三点纵坐标均不能相同，且有一点横坐标需要严格小于另外两点横坐标，假设三点坐标为$(x_1,y_1),(x_2,y_2),(x_3,y_3)$，那么有$x_1<x_2,x_3,y_2<y_1<y_3$，考虑$(x_1,y_1)$对答案的贡献，即为所有横坐标大于$x_1$，纵坐标大于$y_1$的点的个数乘上横坐标大于$x_1$，纵坐标小于$y_1$的点的个数，将所有点按横坐标从大到小排序，将纵坐标插入树状数组中计数即可

4.超过三个点的点集无解

Code

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int>P;
#define maxn 100005
struct BIT 
{
	#define lowbit(x) (x&(-x))
	int b[maxn],n;
	void init(int _n)
	{
		n=_n;
		for(int i=1;i<=n;i++)b[i]=0;
	}
	void update(int x,int v)
	{
		while(x<=n)
		{
			b[x]+=v;
			x+=lowbit(x);
		}
	}
	int query(int x)
	{
		int ans=0;
		while(x)
		{
			ans+=b[x];
			x-=lowbit(x);
		}
		return ans;
	}
}bit;
P a[maxn];
int n,h[maxn],num[maxn];
#define x first
#define y second
#define mod 998244353
int main()
{
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		scanf("%d%d",&a[i].x,&a[i].y);
		h[i-1]=a[i].y;
	}
	sort(h,h+n);
	int m=unique(h,h+n)-h;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		a[i].y=lower_bound(h,h+m,a[i].y)-h+1;
		num[a[i].y]++;
	}
	bit.init(m);
	sort(a+1,a+n+1);
	ll ans=n+1ll*n*(n-1)/2;
	for(int i=1;i<=m;i++)ans-=1ll*num[i]*(num[i]-1)/2;
	for(int i=n;i>=1;i--)
	{
		int j=i;
		while(j>=1&&a[j].x==a[i].x)j--;
		j++;
		for(int k=j;k<=i;k++)
			ans+=1ll*(bit.query(m)-bit.query(a[k].y))*bit.query(a[k].y-1);
		for(int k=j;k<=i;k++)bit.update(a[k].y,1);
		i=j;
	}
	printf("%lld\n",ans%mod);
	return 0;
}