Newcoder 143 H.subseq（BIT）

v5zsq

于 2018-09-17 20:43:47 发布

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分类专栏： Newcoder 树状数组

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树状数组

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本文介绍一种高效算法，用于寻找给定序列中字典序第K小的好序列。通过动态规划与树状数组相结合的方式，在O(nlogn)的时间复杂度内解决问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description

给出一个长度为 $n$ 的序列 $a_1,...,a_n$ ，定义序列 $b_1,...,b_m$ 是好的当且仅当以下条件成立：

1. $1≤bi≤n,1≤i≤m1\le b_i\le n,1\le i\le m$

2. $bi<bi+1,1≤i<mb_i<b_{i+1},1\le i<m$

3. $abi<abi+1,1≤i<ma_{b_i}<a_{b_{i+1}},1\le i<m$

求所有好的 $b$ 序列中字典序第 $k$ 小的

Input

第一行输入两个整数 $n, k$ ，之后输入 $n$ 个整数 $a_1,...,a_n$

$(1≤n≤5⋅105,1≤k≤1018,1≤ai≤109)(1\le n\le 5\cdot 10^5,1\le k\le 10^{18},1\le a_i\le10^9)$

Output

输出字典序第 $k$ 小的好的 $b$ 序列，无解则输出 $- 1$

Sample Input

3 2
1 2 3

Sample Output

2
1 2

Solution

以 $d p [i]$ 表示以 $i$ 开头的满足条件的 $b$ 序列个数，那么有 $dp[i]=1+∑i<j,ai<ajdp[j]dp[i]=1+\sum\limits_{i<j,a_i<a_j}dp[j]$ ，用树状数组维护 $d p [i]$ 的值，从后往前转移，每次把 $d p [i]$ 根据 $a_i$ 的值插入树状数组中，即可 $O (n l o g n)$ 得到 $d p$ 序列

之后从前往后考虑字典序第 $k$ 小的 $b$ 序列，假设第一位放 $1$ ，那么有 $d p [1]$ 种方案数，若 $k≤dp[1]k\le dp[1]$ ，说明第一位确实是 $1$ ，进而考虑第二位的取值（注意：1.每次考虑当前位的取值必然要大于已经确定的前一位取值；2.由于确定完当前位后，后面的取值有空和非空两种情况，此时要将 $k$ 减一来去掉后面为空的情况，减完后若 $k$ 为 $0$ 说明后面确实为空，否则继续考虑后面位的取值），若 $k > d p [1]$ ，说明第一位不是 $1$ ，那么 $k = k - d p [1]$ ，表示有 $d p [1]$ 种字典序小的方案已经考虑了，下面考虑其他值放在第一位，以此类推，若考虑完所有元素 $k$ 仍然非 $0$ 则无解，否则已经确定的序列即为答案，时间复杂度 $O (n)$

Code

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<vector>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll INF=2e18;
#define maxn 500005
struct BIT 
{
	#define lowbit(x) (x&(-x))
	ll b[maxn],n;
	void init(int _n)
	{
		n=_n;
		for(int i=1;i<=n;i++)b[i]=0;
	}
	void update(int x,ll v)
	{
		while(x<=n)
		{
			b[x]+=v;
			b[x]=min(b[x],INF);
			x+=lowbit(x);
		}
	}
	ll query(int x)
	{
		ll ans=0;
		while(x)
		{
			ans+=b[x];
			ans=min(ans,INF);
			x-=lowbit(x);
		}
		return ans;
	}
}bit;
int n,a[maxn],h[maxn];
ll k,dp[maxn];
vector<int>ans;
int main()
{
	scanf("%d%lld",&n,&k);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		scanf("%d",&a[i]);
		h[i-1]=a[i];
	}
	sort(h,h+n);
	int m=unique(h,h+n)-h;
	bit.init(m);
	for(int i=n;i>=1;i--)
	{
		a[i]=m+1-(lower_bound(h,h+m,a[i])-h+1);
		dp[i]=bit.query(a[i]-1)+1;
		dp[i]=min(dp[i],INF);
		bit.update(a[i],dp[i]);
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		if(ans.size()>0&&a[i]>=a[ans[ans.size()-1]])continue;
		if(k==0)break;
		if(dp[i]>=k)
		{
			ans.push_back(i);
			k--;
		}
		else k-=dp[i];
	}
	if(k)printf("-1\n");
	else
	{
		printf("%d\n",ans.size());
		for(int i=0;i<ans.size();i++)
			printf("%d%c",ans[i],i==ans.size()-1?'\n':' ');
	}
	return 0;
}