Newcoder 140 G.transform（二分）

Description

坐标轴上有$n$个集装箱，位置在$x_i$，其中的货物有$a_i$个，把一个货物从$u$集装箱移动到$v$集装箱的代价是$2\cdot |x_u-x_v|$，问在所用代价不超过$T$的前提下，最多能把多少货物移动到一个集装箱

Input

第一行两个整数$n,T$，之后输入$n$个整数$x_i$，最后输入$n$个整数$a_i$

$(1\le n\le 5\cdot 10^5,1\le T\le 10^{18},0\le x_i\le 10^9,0\le a_i\le 10^4)$

Output

输出在所用代价不超过$T$的前提下，最多能把多少货物移动到一个集装箱

Sample Input

2 3
1 2
2 3

Sample Output

4

Solution

二分货物数量$k$，显然最后集中的货物是一段连续的区间，且当集中点右移时区间端点移动也是单调的，故从左往右维护每点作为集中点、集中不超过$k$个货物时让代价最小值的该区间

假设当然区间为$[l,r]$，且第$l$个集装箱中有$numl$个货物没有集中，第$r$个集装箱中有$numr$个货物要集中，那么每次当集中点从$i-1$移动到$i$时，可以很快维护代价，之后考虑该区间是否能够移动，显然只有当$x_i-x_l>x_r-x_i$，也即左边货物距集中点距离大于右边货物距集中点距离时，可以把左边的货物移动到右边去，只要满足条件则一直右移并更新代价，只要代价不超过限制说明二分值合理，时间复杂度$O(nlog(\sum a_i))$

Code

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define maxn 500005
int n,x[maxn],a[maxn];
ll T,sum[maxn];
ll count(int l,int r,int numl,int numr)
{
    if(l==r)return numr-numl;
    return sum[r-1]-sum[l]+a[l]-numl+numr;
}
bool check(ll k)
{
    int l=1,r=n+1,numl=0,numr=0;
    ll cost=0,num=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        if(num+a[i]<=k)
        {
            num+=a[i];
            cost+=(ll)(x[i]-x[1])*a[i];
        }
        else
        {
            r=i;
            numr=k-num;
            cost+=(ll)(x[i]-x[1])*numr;
            break;
        }
    if(cost<=T)return 1;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        cost+=(ll)(x[i]-x[i-1])*(count(l,i,numl,0)-count(i,r,0,numr));
        while(r<=n&&x[i]-x[l]>x[r]-x[i])
        {
            int num=min(a[l]-numl,a[r]-numr);
            cost+=(ll)((x[r]-x[i])-(x[i]-x[l]))*num;
            numl+=num;
            if(numl==a[l])l++,numl=0;
            numr+=num;
            if(numr==a[r])r++,numr=0;
        }
        if(cost<=T)return 1;
    }
    return 0;
} 
int main()
{
    while(~scanf("%d%lld",&n,&T))
    {
        T/=2;
        for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&x[i]);
        for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]),sum[i]=sum[i-1]+a[i];
        ll l=1,r=sum[n],mid,ans;
        while(l<=r)
        {
            mid=(l+r)/2;
            if(check(mid))ans=mid,l=mid+1;
            else r=mid-1;
        }
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}