HDU 6363 bookshelf（数论+莫比乌斯反演）

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莫比乌斯反演

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探讨随机分配图书到多个书架时的美观度得分期望值计算方法。通过数学推导证明了两个关键结论，并利用组合数学及莫比乌斯反演进行高效求解。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description

将 $n$ 本书等概率随机放在 $k$ 层书架上，如果第 $i$ 层书架上有 $cnt_i$ 本书，那么该层书架的稳定值为 $stable_i=f[cnt_i]$ ，其中 $f [0] = 0, f [1] = 1, f [i] = f [i - 1] + f [i - 2]$ 为斐波那契数列，美观度为 $beauty_i=2^{stable_i}-1$ ，此时得分为 $gcd(beauty_1,...,beauty_k)$ ，求得分期望值

Input

第一行一整数 $T$ 表示用例组数，每组用例输入两个整数 $n,k(1≤T≤10,0<n,k≤106)n,k(1\le T\le 10,0<n,k\le 10^6)$

Output

输出得分期望值，结果模 $10^9+7$

Sample Input

1
6 8

Sample Output

797202805

Solution

首先证明两个结论：

$1.gcd(2^a-1,2^b-1)=2^{gcd(a,b)}-1$

假设 $a≥ba\ge b$ ，则有

$\begin{array}{rcl} gcd(2^a-1,2^b-1)&=&gcd(2^{a-b}(2^b-1)+2^{a-b}-1,2^b-1)\\ &=&gcd(2^{a-b}-1,2^b-1)\\ &...&\\ &=&gcd(2^{a\%b}-1,2^b-1) \end{array}$

辗转相除即得结论.

$2.gcd(f_a,f_b)=f_{gcd(a,b)}$

首先注意到
$gcd(f_x,f_{x-1})=gcd(f_{x-1}+f_{x-2},f_{x-1})=gcd(f_{x-1},f_{x-2})=...=gcd(f_1,f_2)=1$
假设 $a≥ba\ge b$ ，那么有
$f_x=f_{x-1}+f_{x-2}=2f_{x-2}+f_{x-3}=...=f_{y+1}f_{x-y}+f_yf_{x-y-1}$
则有
$\begin{array}{rcl} gcd(f_x,f_y)&=&gcd(f_{y+1}f_{x-y}+f_yf_{x-y-1},f_y)\\ &=&gcd(f_{y+1}f_{x-y},f_y)\\ &=&gcd(f_{x-y},f_y)\\ &...&\\ &=&gcd(f_{x\%y},f_y) \end{array}$
辗转相除即得结论.

现在考虑原问题，由上面两个结论即得到当 $k$ 个书架上书的数量为 $a_1,...,a_k$ 时，其得分即为 $2^{f_{gcd(a_1,...,a_k)}}-1$ ，总方案数即为将 $n$ 本书放入 $k$ 个书架，方案数 $C_{n+k-1}^{k-1}$ ，假设 $gcd(a_1,...,a_k)=d,a_1+...+a_k=n$ 的方案数有 $g (d)$ 种，那么答案即为 $ans=∑d∣ng(d)(2fd−1)ans=\sum\limits_{d|n}g(d)(2^{f_d}-1)$ ，故只要求出 $g (1), . . ., g (d)$ 即可

令 $d|gcd(a_1,...,a_k),a_1+...+a_k=n$ 的方案数为 $F (d)$ ，由插板法知 $F(d)=Cnd+k−1k−1F(d)=C_{\frac{n}{d}+k-1}^{k-1}$

而 $F(d)=∑d∣ig(i)F(d)=\sum\limits_{d|i}g(i)$ ，由莫比乌斯反演有 $g(d)=∑d∣iμ(id)F(i)g(d)=\sum\limits_{d|i}\mu(\frac{i}{d})F(i)$ ，预处理莫比乌斯函数后直接求解即可

Code

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
#define maxn 1000005
typedef long long ll;
int prime[maxn],mu[maxn],check[maxn],tot;
void Moblus(int n=1e6)
{
	memset(check,0,sizeof(check));
	mu[1]=1;
	tot=0;
	for(int i=2;i<=n;i++)
	{
		if(!check[i])
		{
			prime[tot++]=i;
			mu[i]=-1;
		}
		for(int j=0;j<tot&&i*prime[j]<=n;j++)
		{			
			check[i*prime[j]]=1;
			if(i%prime[j]==0)
			{
				mu[i*prime[j]]=0;
				break;
			}
			mu[i*prime[j]]=-mu[i];
		}
	}
}
#define mod 1000000007
int mul(int x,int y)
{
	ll z=1ll*x*y;
	return z-z/mod*mod;
}
int add(int x,int y)
{
	x+=y;
	if(x>=mod)x-=mod;
	return x;
}
int Pow(int a,int b)
{
	int ans=1;
	while(b)
	{
		if(b&1)ans=mul(ans,a);
		a=mul(a,a);
		b>>=1;
	}
	return ans;
}
int a[maxn],fact[2*maxn],inv[2*maxn];
void init(int n=1e6)
{
	Moblus();
	a[0]=0,a[1]=1;
	for(int i=2;i<=1e6;i++)a[i]=(a[i-2]+a[i-1])%(mod-1);
	for(int i=1;i<=1e6;i++)a[i]=add(Pow(2,a[i]),mod-1);
	fact[0]=1;
	for(int i=1;i<=2*n;i++)fact[i]=mul(i,fact[i-1]);
	inv[1]=1;
	for(int i=2;i<=2*n;i++)inv[i]=mul(mod-mod/i,inv[mod%i]);
	inv[0]=1;
	for(int i=1;i<=2*n;i++)inv[i]=mul(inv[i],inv[i-1]);
}
int C(int n,int m)
{
	if(m<0||m>n)return 0;
	return mul(fact[n],mul(inv[m],inv[n-m]));
}
int F(int d,int k)
{
	return C(d+k-1,k-1);
}
int main()
{
	init();
	int T,n,k;
	scanf("%d",&T);
	while(T--)
	{
		scanf("%d%d",&n,&k);
		int ans=0;
		for(int d=1;d<=n;d++)
			if(n%d==0)
			{
				int f=0;
				for(int i=d;i<=n;i+=d)
					if(n%i==0)
					{
						if(mu[i/d]==1)f=add(f,F(n/i,k));
						else if(mu[i/d]==-1)f=add(f,mod-F(n/i,k));
					}
				ans=add(ans,mul(f,a[d]));
			}
		printf("%d\n",mul(ans,Pow(C(n+k-1,k-1),mod-2)));
	}
	return 0;
}