CodeForces 111 C.Petya and Spiders（状压DP）

最新推荐文章于 2020-08-06 10:20:37 发布

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状压DP

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本文探讨了在一个n×m的矩阵中，每个位置有一只蜘蛛，每秒蜘蛛会向上下左右移动一步或待在原地的问题。目标是计算一秒后没有蜘蛛的位置数量的最大值。通过动态规划算法，详细解释了如何找到最优解，并提供了完整的代码实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description

给出一个 $n\times m$ 的矩阵，每个位置有一只蜘蛛，每秒蜘蛛会向上下左右移动一步或者待在原地不动，问一秒后没有蜘蛛的位置数量最大值

Input

两个整数 $n,m(1\le n,m,n\cdot m\le 40)$

Output

输出没有蜘蛛位置数量最大值

Sample Input

1 1

Sample Output

Solution

假设 $n<m$ ，以 $n$ 位 $01$ 表示一列蜘蛛的存在状态，以 $dp[i][y][z]$ 表示第 $i$ 列蜘蛛状态为 $y$ ，第 $i+1$ 列蜘蛛状态为 $z$ 时无蜘蛛位置最大值，下面考虑找到合法的第 $i-1$ 列蜘蛛状态 $x$ ，由于第 $i-1,i+1$ 列蜘蛛状态可以往其他列走，故只要 $x,y,z$ 这相邻三列的状态能够满足让 $y$ 也即第 $i$ 列蜘蛛状态合法即可，第 $i$ 列蜘蛛要么左移、不动或右移形成状态 $x,y,z$ ，要么上下移动形成状态 $y>>1,y<<1$ ，也即只要 $x,y>>1,y,y<<1,z$ 这五个状态中每位都至少有一个 $1$ ，那么 $x,y,z$ 即为合法的相邻三列状态，进而有转移

$dp[i][y][z]=max(dp[i][y][z],dp[i-1][x][y]+num[y])$

其中 $num[y]$ 为 $y$ 状态中 $0$ 的个数，最后 $\sum dp[m][i][0]$ 即为答案

Code

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<ctime>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int>P;
const int INF=0x3f3f3f3f,maxn=100001;
int n,m,N,dp[40][70][70],num[70];
bool check(int x,int y,int z)
{
    int S=x|y|z|(y<<1)|(y>>1);
    if((S&(N-1))==N-1)return 1;
    return 0;
}
int main()
{
    while(~scanf("%d%d",&n,&m))
    {
        if(n>m)swap(n,m);
        N=1<<n;
        memset(dp,-1,sizeof(dp));
        num[0]=0;
        for(int i=1;i<N;i++)num[i]=num[i/2]+(i&1);
        for(int i=0;i<N;i++)num[i]=n-num[i],dp[0][0][i]=0;
        for(int i=1;i<=m;i++)
            for(int j=0;j<N;j++)
                for(int k=0;k<N;k++)
                    if(dp[i-1][j][k]!=-1)
                        for(int l=0;l<N;l++)
                            if(check(j,k,l))
                                dp[i][k][l]=max(dp[i][k][l],dp[i-1][j][k]+num[k]);
        int ans=0;
        for(int i=0;i<N;i++)ans=max(ans,dp[m][i][0]);
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}