CodeForces 83 D.Numbers（数论+递归）

Description

问区间$[a,b]$中以$k$为最小因子的数的个数，不考虑$1$为因子

Input

三个整数$a,b,k(1\le a\le b\le 2\cdot 10^9,2\le k\le 2\cdot 10^9)$

Output

输出该区间中满足条件的数的个数

Sample Input

1 10 2

Sample Output

5

Solution

记$Solve(n,k)$为$1$~$n$中以$k$为最小因子的数的个数，显然若$n<k$或$k$不是素数则$Solve(n,k)=0$，而当$k^2>n$时，显然只有$k$一个数字满足条件，故此时$Solve(n,k)=1$，之后考虑从所有以$k$为因子的数字中减掉以小于$k$的数字为最小素因子的数字，进而有转移

$Solve(n,k)=\lfloor\frac{n}{k}\rfloor-\sum\limits_{i=1}^{k-1}Solve(\lfloor\frac{n}{k}\rfloor,i)$

由于$k\le \sqrt{n}$，故该递归很快可以到终点

Code

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<ctime>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int>P;
const int INF=0x3f3f3f3f,maxn=100001;
int check(int n)
{
    for(int i=2;i*i<=n;i++)
        if(n%i==0)return 0;
    return 1;
}
int Solve(int n,int k)
{
    if(n<k||!check(k))return 0;
    if(k>n/k)return 1;
    int ans=n/k;
    for(int i=2;i<k;i++)ans-=Solve(n/k,i);
    return ans;
}
int main()
{
    int L,R,k;
    while(~scanf("%d%d%d",&L,&R,&k))
        printf("%d\n",Solve(R,k)-Solve(L-1,k));
    return 0;
}