CodeForces 54 C.First Digit Law（概率DP）

最新推荐文章于 2020-02-09 11:17:04 发布

v5zsq

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分类专栏： Code Forces 概率DP

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本文介绍了一种计算多个区间内随机选择的数字最高位为1的概率问题。通过预处理每个区间的特性，利用动态规划求解至少K%的数字最高位为1的概率。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description

给出 $n$ 个区间 $[L_i,R_i]$ ， $a_i$ 是等概率从第 $i$ 个区间中选取的一个数字，问 $a_1,...,a_n$ 中有至少 $K\%$ 的数最高位为 $1$ 的概率

Input

第一行一整数 $n$ 表示区间个数，之后 $n$ 行每行输入两个整数 $L_i,R_i$ 表示第 $i$ 个区间，之后输入一整数 $K$

$(1\le n\le 1000,1\le L_i\le R_i\le 10^{18},0\le K\le 100)$

Output

输出 $a_1,...,a_n$ 中有至少 $K\%$ 的数最高位为 $1$ 的概率，误差不超过 $10^{-9}$

Sample Input

1
1 2
50

Sample Output

0.500000000000000

Solution

统计 $[L_i,R_i]$ 中最高位为 $1$ 的数字个数 $x_i$ ，那么 $a_i$ 最高位为 $1$ 的概率为 $p_i=\frac{x_i}{R_i-L_i+1}$

以 $dp[i][j]$ 为前 $i$ 个数字中有 $j$ 个数字最高位为 $1$ 的概率，那么根据第 $i$ 个数字最高位是否为 $1$ 有转移：

$dp[i][j]=p_i\cdot dp[i-1][j-1]+(1-p_i)\cdot dp[i-1][j]$

对于 $100\cdot i\ge K\cdot n$ 的 $i$ ，累加 $dp[n][i]$ 即为答案

Code

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<ctime>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int>P;
const int INF=0x3f3f3f3f,maxn=1005;
int n,K;
ll f[20];
double p[maxn],dp[maxn][maxn];
ll Solve(ll N)
{
    if(!N)return 0;
    int a[100],res=0;
    while(N)a[res++]=N%10,N/=10;
    ll ans=0;
    if(a[res-1]>1)ans+=f[res-1];
    else
    {
        for(int i=0;i<res-1;i++)ans+=f[i]*a[i];
        ans++;
    }
    for(int i=0;i<res-1;i++)ans+=f[i];
    return ans;
}
int main()
{
    f[0]=1;
    for(int i=1;i<=18;i++)f[i]=10ll*f[i-1];
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        ll L,R;
        scanf("%I64d%I64d",&L,&R);
        p[i]=1.0*(Solve(R)-Solve(L-1))/(R-L+1);
    }
    scanf("%d",&K);
    memset(dp,0,sizeof(dp));
    dp[0][0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=0;j<=i;j++)
        {
            if(j==0)dp[i][j]=(1.0-p[i])*dp[i-1][j];
            else dp[i][j]=p[i]*dp[i-1][j-1]+(1.0-p[i])*dp[i-1][j];
        }
    double ans=0;
    for(int i=n;i>=0;i--)
        if(i*100>=K*n)ans+=dp[n][i];
        else break;
    printf("%.12f\n",ans); 
    return 0;
}