HDU 5900 QSC and Master（区间DP）

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区间DP

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本文介绍了一种利用区间动态规划解决特定数对取分问题的方法，通过判断数对间的最大公约数来确定能否合并数对以获得最大得分。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description

给出 $n$ 个数对 $(key_i,val_i)$ ，对于相邻的两个数对，如果它们的键值不互素则可以同时拿走这两个数对，得分为其价值之和，问最多可以得多少分

Input

第一行一整数 $T$ 表示用例组数，每组用例首先输入一整数 $n$ 表示数对的个数，之后输入 $n$ 个整数 $key_i$ 表示每个数对的键值，最后输入 $n$ 个整数 $val_i$ 表示每个数对的价值

$(1\le T\le 10,1\le n\le 300,1\le key_i\le 10^9,0\le val_i\le 10^9)$

Output

输出最大得分

Sample Input

3
3
1 2 3
1 1 1
3
1 2 4
1 1 1
4
1 3 4 3
1 1 1 1

Sample Output

0
2
0

Solution

区间 $DP$ ，以 $dp[l][r]$ 表示从第 $l$ 个数对到第 $r$ 个数对可以拿到的最大得分，有两种方案，要么把该区间分成两部分分别考虑，要么就是第 $l+1$ 个数对到第 $r-1$ 个数对全部被拿走且 $gcd(key_l,key_r)>1$ ，这样第 $l$ 个数对和第 $r$ 个数对可以凑一起拿走，为快速判断是否可以将区间 $[l+1,r-1]$ 的数对全部拿走，对价值求前缀和 $sum_i=\sum\limits_{j=1}^ival_j$ ，如果 $dp[l+1][r-1]=sum_{r-1}-sum_l$ 则说明区间 $[l+1,r-1]$ 可以全部被拿走，以此求出 $dp[1][n]$ 即为答案，时间复杂度 $O(Tn^3)$

Code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define maxn 333
int T,n,a[maxn],v[maxn];
ll sum[maxn],dp[maxn][maxn];
int gcd(int a,int b)
{
    return b?gcd(b,a%b):a;
}
ll dfs(int l,int r)
{
    if(dp[l][r]!=-1)return dp[l][r];
    ll ans=-1;
    if(l==r)ans=0;
    else if(r==l+1)
    {
        if(gcd(a[l],a[r])>1)ans=v[l]+v[r];
        else ans=0;
    }
    else 
    {
        int temp=gcd(a[l],a[r]);
        if(temp!=1&&dfs(l+1,r-1)==sum[r-1]-sum[l])ans=sum[r]-sum[l-1];
        for(int i=l;i<r;i++)ans=max(ans,dfs(l,i)+dfs(i+1,r));
    }
    return dp[l][r]=ans;
}
int main()
{
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        memset(dp,-1,sizeof(dp));
        scanf("%d",&n);
        sum[0]=0;
        for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]);
        for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&v[i]),sum[i]=sum[i-1]+v[i];
        printf("%I64d\n",dfs(1,n));
    }
    return 0;
}