计蒜客 16958 Colored Graph（构造）

Description

给出一个$n$个点的无向完全图，要求给每条边黑白染色，使得图中同色三元环的数量最少，输出最少数量以及染色矩阵

Input

第一行一整数$T$表示用例组数，每组用例输入一整数$n$表示点数$(n\le 500)$

Output

输出最少同色三元环数，然后输出一个$n\times n$的染色矩阵$A_{ij}$，$A_{ij}=1$表示$i,j$两点之间的边染黑色，$A_{ij}=2$表示$i,j$两点之间的边染白色

Sample Input

2
3
6

Sample Output

0
0 1 1
1 0 2
1 2 0
2
0 2 2 1 1 1
2 0 2 1 1 1
2 2 0 1 1 1
1 1 1 0 2 2
1 1 1 2 0 2
1 1 1 2 2 0

Solution

设$a[i]$为第$i$个点连出去的白色边数量，那么第$i$个点连出去的黑色边数量即为$n-1-a[i]$，对于一个不同色三元环，必然是两条边一个颜色另一条边另一个颜色，也即有一个点连出去的两条边是同色的，另外两个点连出去的两条边是异色的，考虑每个点对于不同色三元环的贡献可以得到该图同色三元环个数为$C_n^3-\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^na[i]\cdot (n-1-a[i])$，为使该值最小，我们要让每一个$a[i]\cdot (n-1-a[i])$最大，也即$a[i]=\frac{n-1}{2}$，考虑构造使得每个点连出去的白色边数量为$\frac{n-1}{2}$，每次把所有点剩余的白边数量排序，从数量最小的点开始往数量最大的点连边直至数量最小的点的白边连完即可，此时最少同色三元环数量即为$C_n^3-\frac{n\cdot \frac{n-1}{2}\cdot (n-1-\frac{n-1}{2})}{2}$

Code

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<ctime>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int>P;
const int INF=0x3f3f3f3f,maxn=505;
P a[maxn];
int g[maxn][maxn];
int main()
{
    int T,n;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%d",&n);
        for(int i=1;i<=n;i++)
            for(int j=1;j<=n;j++)
                g[i][j]=(i==j?0:1);
        for(int i=1;i<=n;i++)a[i].first=(n-1)/2,a[i].second=i;
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            sort(a+i,a+n+1);
            int j=n;
            while(a[i].first&&j>i)
            {
                g[a[i].second][a[j].second]=g[a[j].second][a[i].second]=2;
                a[i].first--;
                a[j].first--;
                j--;
            }
        }
        int ans=n*(n-1)*(n-2)/6-n*((n-1)/2)*(n-1-(n-1)/2)/2;
        printf("%d\n",ans);
        for(int i=1;i<=n;i++)
            for(int j=1;j<=n;j++)
                printf("%d%c",g[i][j],j==n?'\n':' ');
    }
    return 0;
}