HDU 6184 Counting Stars（分块）

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本文介绍了一种高效算法，用于计算给定无向图中特定子图的数量，特别是包含5条边的特定四节点子图。算法通过巧妙地利用集合存储边信息，并通过枚举节点来减少不必要的计算，实现O(mlog²m)的时间复杂度。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description

给出一个 $n$ 个点 $m$ 条边的无向图 $G=(V,E)$ ，对于 $V$ 的一个四元子集 $V_1=\{A,B,C,D\}$ ，和 $E$ 的一个五元子集 $E_1=\{AB,BC,CD,DA,AC\}$ ，两者组成 $G$ 的一个子图，问该种子图的个数，两个子图 $G_1=(V_1,E_1),G_2=(V_2,E_2)$ 相同当且仅当 $V_1=V_2,E_1=E_2$

Input

多组用例，每组用例首先输入两个整数 $n,m$ 表示点数和边数，之后 $m$ 行每行输入两个整数 $u,v$ 表示一条无向边

$(2\le n\le 10^5,1\le m\le min(2\cdot 10^5,\frac{n(n-1)}{2}))$

Output

输出 $G$ 的这种特殊子图个数

Sample Input

4 5
1 2
2 3
3 4
4 1
1 3
4 6
1 2
2 3
3 4
4 1
1 3
2 4

Sample Output

1
6

Solution

只要求出含边 $x\rightarrow y$ 的三元环个数 $cnt_{x,y}$ ，答案即为 $\sum\limits_{x<y}\frac{cnt_{x,y}(cnt_{x,y}-1)}{2}$

用 $set$ 存下所有的边，枚举 $x$ ，把所有 $x$ 的邻接点 $z$ 打上 $x$ 的标记，之后枚举 $x$ 的邻接点 $y$ ，如果 $y$ 的度数不超过 $\sqrt{m}$ ，则直接暴力枚举 $x$ 的邻接点 $z$ ，如果 $z$ 带上了 $x$ 的标记则 $x,y,z$ 构成一个三元环，如果 $y$ 的度数超过 $\sqrt{m}$ ，枚举 $x$ 的邻接点 $z$ ，如果 $y,z$ 这条边在 $set$ 里则 $x,y,z$ 构成三元环，时间复杂度 $O(mlog_2m)$

Code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<vector>
#include<cmath>
#include<set>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define maxn 100005
set<ll>s;
int n,m,vis[maxn],link[maxn];
vector<int>g[maxn];
int main()
{
    while(~scanf("%d%d",&n,&m))
    {
        for(int i=1;i<=n;i++)g[i].clear(),vis[i]=0,link[i]=0;
        s.clear();
        int N=(int)sqrt(m+0.5);
        for(int i=1;i<=m;i++)
        {
            int u,v;
            scanf("%d%d",&u,&v);
            g[u].push_back(v),g[v].push_back(u);
            s.insert((ll)n*u+v),s.insert((ll)n*v+u);
        }
        ll ans=0;
        for(int x=1;x<=n;x++)
        {
            vis[x]=1;
            for(int i=0;i<g[x].size();i++)link[g[x][i]]=x;
            for(int i=0;i<g[x].size();i++)
            {
                int cnt=0;
                int y=g[x][i];
                if(vis[y])continue;
                if(g[y].size()<=N)
                {
                    for(int j=0;j<g[y].size();j++)
                    {
                        int z=g[y][j];
                        if(link[z]==x)cnt++;
                    }
                }
                else
                {
                    for(int j=0;j<g[x].size();j++)
                    {
                        int z=g[x][j];
                        if(s.find((ll)n*y+z)!=s.end())cnt++;
                    }
                }
                ans+=(ll)cnt*(cnt-1)/2;
            }
        } 
        printf("%I64d\n",ans);
    }
    return 0;
}