CodeForces 466 D.Increase Sequence（组合数学+dp）

最新推荐文章于 2021-09-09 22:41:11 发布

v5zsq

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分类专栏： Code Forces 杂题组合数学 dp

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/V5ZSQ/article/details/79016703

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本文探讨了一个关于通过区间操作使序列中所有元素变为特定值的问题，并提供了一种动态规划的解决方案。考虑到操作限制和模运算，文章详细阐述了解题思路及实现代码。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description

给出一个长度为 $n$ 的序列 $a_i$ ，每次操作可以将一个区间的值全部加一，但是不能有两个操作的端点值相同，问有多少种方案可以使得所有数字变成 $h$

Input

第一行输入两个整数 $n,h$ ，之后输入 $n$ 个整数 $a_i(1\le n,h\le 2000,0\le a_i\le 2000)$

Output

输出方案数，结果模 $10^9+7$

Sample Input

3 2
1 1 1

Sample Output

Solution

以左括号表示操作区间左端点，右括号表示操作区间右端点，那么一个位置不能出现两个以及上的左括号或右括号，故一个位置只有四种情况，不放括号，放一个左括号，放一个右括号，放一个左括号放一个右括号

用 $dp[i][j]$ 表示前 $i$ 个位置还没匹配的左括号比还没匹配的右括号多 $j$ 个且使得 $a_1=a_2=...=a_i=h$ 的方案数

1.第 $i$ 个位置不放括号，有 $dp[i][j]+=dp[i-1][j]$

2.第 $i$ 个位置放左括号，有 $dp[i][j]+=dp[i-1][j-1]$

3.第 $i$ 个位置放右括号，有 $dp[i][j]+=(j+1)\cdot dp[i-1][j+1]$ ，乘上 $j+1$ 是因为要给当前放的这个右括号匹配上左括号

4.第 $i$ 个位置放左右括号，有 $dp[i][j]+=(j+1)\cdot dp[i-1][j]$ ，乘上 $j+1$ 同样是因为要给当前这个右括号匹配上左括号

注意对于 $1,2$ 情况， $a_i$ 位置相当于被加了 $j$ ，故需要 $a_i+j=h$ 该步才可以转移过去，同样的，对于 $3,4$ 情况， $a_i$ 位置加了 $j+1$ ，故需要 $a_i+j+1=h$ ，最后 $dp[n][0]$ 即为答案

Code

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<ctime>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int>P;
const int INF=0x3f3f3f3f,maxn=2005;
#define mod 1000000007
int n,h,a[maxn],dp[maxn][maxn]; 
void add(int &x,int y)
{
    x=x+y>=mod?x+y-mod:x+y; 
}
int main()
{
    while(~scanf("%d%d",&n,&h))
    {
        for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]);
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        if(a[1]==h||a[1]==h-1)dp[1][0]=1;
        if(a[1]==h-1)dp[1][1]=1;
        for(int i=2;i<=n;i++)
            for(int j=max(0,h-a[i]-1);j<=min(h-a[i],i);j++)
                if(a[i]+j==h)
                {
                    add(dp[i][j],dp[i-1][j]);
                    if(j)add(dp[i][j],dp[i-1][j-1]);
                }
                else if(a[i]+j+1==h)
                    add(dp[i][j],(ll)(j+1)*(dp[i-1][j+1]+dp[i-1][j])%mod);
        printf("%d\n",dp[n][0]);
    }
    return 0;
}