CodeForces 439 E.Devu and Birthday Celebration（莫比乌斯反演+组合数学）

最新推荐文章于 2021-07-14 10:32:28 发布

v5zsq

最新推荐文章于 2021-07-14 10:32:28 发布

阅读量487

点赞数

CC 4.0 BY-SA版权

分类专栏： Code Forces 组合数学莫比乌斯反演

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/V5ZSQ/article/details/79007691

Code Forces 同时被 3 个专栏收录

606 篇文章

订阅专栏

组合数学

190 篇文章

订阅专栏

莫比乌斯反演

28 篇文章

订阅专栏

本文探讨了如何通过数学方法解决特定的计数问题，利用莫比乌斯反演等高级数学技巧，针对一系列整数求解满足特定条件的序列数量。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description

问满足 $gcd(a_1,a_2,...,a_f)=1,\sum\limits_{i=1}^fa_i=n$ 的序列 $a$ 的个数

Input

第一行一整数 $T$ 表示用例组数，每组用例输入两个整数 $n,f$ 表示一组查询 $(1\le T\le 10^5,1\le f\le n\le 10^5)$

Output

对于每组查询，输出满足条件的 $a$ 序列个数

Sample Input

5
6 2
7 2
6 3
6 4
7 4

Sample Output

2
6
9
10
20

Solution

令 $f(d)$ 为满足 $gcd(a_1,a_2,...,a_f)=d,\sum\limits_{i=1}^fa_i=n$ 的方案数， $F(d)$ 为满足 $d|gcd(a_1,a_2,...,a_f),\sum\limits_{i=1}^fa_i=n$ 的方案数，则 $F(d)=\sum\limits_{d|k}f(k)$ ，由莫比乌斯反演， $f(d)=\sum\limits_{d|k}\mu(\frac{k}{d})F(k)$

现在求 $F(k)$ ，显然 $k|n$ ，问题转化为将 $\frac{n}{k}$ 拆成 $f$ 个正整数 $b_i$ ，由插板法得 $F(k)=C_{\frac{n}{k}-1}^{f-1}$

进而得知答案为 $f(1)=\sum\limits_{d|n}\mu(d)C_{\frac{n}{d}-1}^{f-1}$ ，时间复杂度 $O(T\sqrt{n})$

Code

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<ctime>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int>P;
const int INF=0x3f3f3f3f,maxn=100005;
#define mod 1000000007 
int prime[maxn],tot,mu[maxn],check[maxn];
void Moblus(int n=1e5)
{
    mu[1]=1;
    tot=0;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(!check[i])
        {
            prime[tot++]=i;
            mu[i]=-1;
        }
        for(int j=0;j<tot&&i*prime[j]<=n;j++)
        {           
            check[i*prime[j]]=1;
            if(i%prime[j]==0)
            {
                mu[i*prime[j]]=0;
                break;
            }
            mu[i*prime[j]]=-mu[i];
        }
    }
}
int fact[maxn],inv[maxn];
void init(int n=1e5)
{
    fact[0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)fact[i]=(ll)i*fact[i-1]%mod;
    inv[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)inv[i]=mod-(ll)(mod/i)*inv[mod%i]%mod;
    inv[0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)inv[i]=(ll)inv[i-1]*inv[i]%mod;
}
int C(int n,int m)
{
    return (ll)fact[n]*inv[m]%mod*inv[n-m]%mod;
} 
void add(int &x,int y)
{
    x=x+y>=mod?x+y-mod:x+y;
}
int T,n,f;
int Solve(int i)
{
    if(mu[i]==1&&n/i>=f)return C(n/i-1,f-1);
    if(mu[i]==-1&&n/i>=f)return mod-C(n/i-1,f-1);
    return 0;
}
int main()
{
    Moblus();
    init();
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%d%d",&n,&f);
        int ans=0;
        for(int i=1;i*i<=n;i++)
            if(n%i==0)
            {
                add(ans,Solve(i));
                if(i*i!=n)add(ans,Solve(n/i));  
            }
        printf("%d\n",ans);
    } 
    return 0;
}