CodeForces 439 E.Devu and Birthday Celebration(莫比乌斯反演+组合数学)

本文探讨了如何通过数学方法解决特定的计数问题,利用莫比乌斯反演等高级数学技巧,针对一系列整数求解满足特定条件的序列数量。

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Description

问满足gcd(a1,a2,...,af)=1,i=1fai=ngcd(a1,a2,...,af)=1,∑i=1fai=n的序列aa的个数

Input

第一行一整数T表示用例组数,每组用例输入两个整数n,fn,f表示一组查询(1T105,1fn105)(1≤T≤105,1≤f≤n≤105)

Output

对于每组查询,输出满足条件的aa序列个数

Sample Input

5
6 2
7 2
6 3
6 4
7 4

Sample Output

2
6
9
10
20

Solution

f(d)为满足gcd(a1,a2,...,af)=d,i=1fai=ngcd(a1,a2,...,af)=d,∑i=1fai=n的方案数,F(d)F(d)为满足d|gcd(a1,a2,...,af),i=1fai=nd|gcd(a1,a2,...,af),∑i=1fai=n的方案数,则F(d)=d|kf(k)F(d)=∑d|kf(k),由莫比乌斯反演,f(d)=d|kμ(kd)F(k)f(d)=∑d|kμ(kd)F(k)

现在求F(k)F(k),显然k|nk|n,问题转化为将nknk拆成ff个正整数bi,由插板法得F(k)=Cf1nk1F(k)=Cnk−1f−1

进而得知答案为f(1)=d|nμ(d)Cf1nd1f(1)=∑d|nμ(d)Cnd−1f−1,时间复杂度O(Tn)O(Tn)

Code

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<ctime>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int>P;
const int INF=0x3f3f3f3f,maxn=100005;
#define mod 1000000007 
int prime[maxn],tot,mu[maxn],check[maxn];
void Moblus(int n=1e5)
{
    mu[1]=1;
    tot=0;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(!check[i])
        {
            prime[tot++]=i;
            mu[i]=-1;
        }
        for(int j=0;j<tot&&i*prime[j]<=n;j++)
        {           
            check[i*prime[j]]=1;
            if(i%prime[j]==0)
            {
                mu[i*prime[j]]=0;
                break;
            }
            mu[i*prime[j]]=-mu[i];
        }
    }
}
int fact[maxn],inv[maxn];
void init(int n=1e5)
{
    fact[0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)fact[i]=(ll)i*fact[i-1]%mod;
    inv[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)inv[i]=mod-(ll)(mod/i)*inv[mod%i]%mod;
    inv[0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)inv[i]=(ll)inv[i-1]*inv[i]%mod;
}
int C(int n,int m)
{
    return (ll)fact[n]*inv[m]%mod*inv[n-m]%mod;
} 
void add(int &x,int y)
{
    x=x+y>=mod?x+y-mod:x+y;
}
int T,n,f;
int Solve(int i)
{
    if(mu[i]==1&&n/i>=f)return C(n/i-1,f-1);
    if(mu[i]==-1&&n/i>=f)return mod-C(n/i-1,f-1);
    return 0;
}
int main()
{
    Moblus();
    init();
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%d%d",&n,&f);
        int ans=0;
        for(int i=1;i*i<=n;i++)
            if(n%i==0)
            {
                add(ans,Solve(i));
                if(i*i!=n)add(ans,Solve(n/i));  
            }
        printf("%d\n",ans);
    } 
    return 0;
}
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