CodeForces 288 B.Polo the Penguin and Houses（组合数学+Purfer序列）

最新推荐文章于 2018-11-26 20:50:06 发布

原创最新推荐文章于 2018-11-26 20:50:06 发布 · 575 阅读

1 ·

CC 4.0 BY-SA版权

Code Forces 同时被 3 个专栏收录

606 篇文章

订阅专栏

杂题

256 篇文章

订阅专栏

组合数学

190 篇文章

订阅专栏

本文探讨了在一个特定类型的有向图中，从指定起点到终点的合法路径数量的计算问题。具体而言，该图包含n个节点，分为两部分，一部分节点可以直接回到起点，而另一部分则不能。通过组合数学的方法，特别是利用普夫序列与带标号树的对应关系，文章给出了求解路径数量的高效算法。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description

有 $n$ 个点，给每个点 $x$ 定义一个 $p_x$ 值，表示从 $x$ 点会到 $p_x$ 点，现在有两个要求：

$1$ .从 $1$ 到 $k$ 的任意一点出发可以走到 $1$ 点

$2$ .从 $k+1$ 到 $n$ 的任意一点出发走不到 $1$ 点

问满足条件的 $p_1,p_2,...,p_n$ 个数

Input

输入两个整数 $n,k(1\le n\le 1000,1\le k\le min(8,n))$

Output

输出满足条件的 $p$ 序列个数，结果模 $10^9+7$

Sample Input

5 2

Sample Output

Solution

首先后 $n-k$ 个点的 $p_x$ 值必然大于 $k$ ，否则走到前 $k$ 个点就可以走到 $1$ ，同理前 $k$ 个点的 $p_x$ 值也必然不超过 $k$

后面 $n-k$ 个点的方案数很好算，随便走即可，方案数 $(n-k)^{n-k}$

$1$ 走到前 $k$ 个位置的任一个都可以走回来，故方案数为 $k$

$2$ ~ $k$ 每一个点都要走回 $1$ ，且每一个点只能走向唯一的另一个点，考虑 $p_x$ 为 $x$ 的父亲节点，那么前 $k$ 个节点的 $p_x$ 值唯一对应一个以 $1$ 为根的带标号树，由带标号树与其 $Purfer$ 序列的一一对应得知 $k$ 个点的带标号树有 $k^{k-2}$ 个，故答案为 $k^{k-1}\cdot (n-k)^{n-k}$

Code

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<ctime>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int>P;
const int INF=0x3f3f3f3f,maxn=10;
#define mod 1000000007
int Pow(int a,int b)
{
    int ans=1;
    while(b)
    {
        if(b&1)ans=(ll)ans*a%mod;
        a=(ll)a*a%mod;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}
int main()
{
    int n,k;
    while(~scanf("%d%d",&n,&k))
    {
        int ans=(ll)Pow(k,k-1)*Pow(n-k,n-k)%mod;
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}