CodeForces 201 E.Thoroughly Bureaucratic Organization（贪心+二分+鸽巢原理）

Description

有一个$1$~$n$的排列，每次询问至多可以询问$m$个位置的数字，但是只会给出乱序后的这些数字，问最坏情况下最少多少次可以还原整个序列

Input

第一行一整数$T$表示用例组数，每组用例输入两个整数$n,m(1\le T\le 1000,1\le n,m\le 10^9)$

Output

对于每组用例，输出最坏情况下还原整个序列所需的最少询问次数

Sample Input

5
4 1
4 2
7 3
1 1
42 7

Sample Output

3
2
3
0
11

Solution

如果对于任意$k$，可以知道$k$次询问，每次询问至多问$m$个数字可以还原的最长排列长度为$n$，那么就可以二分得到答案，把每个数字在这$k$次询问是否被问到看作一个长度为$k$的$01$串，第$i$次询问了这个数字则第$i$位是$1$，否则是$0$，那么我们要找的是尽可能多的这种串，且串之间两两可区分，且对于所有串的某一位，其$1$的个数不能超过$m$，因为一次询问至多询问$m$个数字，首先不考虑这个限制，那么就是至多用$km$个$1$去构造尽可能多的可两两区分的长度为$k$的$01$串，那么我们可以贪心的先构造$C_k^1$个只含一个$1$且位置不同的串，然后构造$C_k^2$个只含两个$1$且这两个$1$位置不完全相同的串，….，以此类推可以得到尽可能多的串，下面证明加入这个限制和不加是一样的，假设$i$位的$1$的数量大于，那么由于总数不超过$km$，所以必然存在一个$j$位其$1$的数量小于$m$，记$x$为第$i$位是$1$且第$j$位是$0$的串的个数，$y$为第$i$位是$0$且第$j$位是$1$的串的个数，显然$x>y$，从$x$中选一个串，交换其在第$i$位和第$j$位的值，结果是要么该串变成一个和其他串都可区分的串，要么其和这$y$个串中某一个相同，由于$x>y$，由鸽巢原理，必然存在一个串，交换其两位后和这$y$个串均不相同，那么这个串和其他所有串都可区分，$x$的数量减一，经过有限次这样的操作，必然可以使得那些使用超过$m$个$1$的位消失，故该限制没用

Code

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<ctime>
using namespace std;
typedef long long ll;
int T,n,m;
bool check(int k)
{
    if(n==1)return 1;
    ll num=(ll)m*k,res=1,C=1;
    for(int i=1;i<=k;i++)
    {
        if(num<i)return 0;
        if((ll)(k-i+1)*C>=(ll)n*i)C=n;
        else C=C*(k-i+1)/i;
        ll temp=min(num/i,C);
        res+=temp;
        if(res>=n)return 1;
        num-=temp*i;
    }
    return 0;
}
int main()
{
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%d%d",&n,&m);
        int l=0,r=n,mid,ans;
        while(l<=r)
        {
            mid=(l+r)/2;
            if(check(mid))ans=mid,r=mid-1;
            else l=mid+1;
        }
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}