HDU 6108 小C的倍数问题（数学）

正整数倍数判断算法

最新推荐文章于 2024-08-29 11:58:30 发布

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本文介绍了一种算法，该算法用于确定在特定进制下，一个正整数是否为另一数的倍数的充分必要条件是其各位数字之和也是该数的倍数。文章提供了详细的数学证明及实现代码。

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Description

根据小学数学的知识，我们知道一个正整数 $x$ 是 $3$ 的倍数的条件是 $x$ 每一位加起来的和是 $3$ 的倍数。反之，如果一个数每一位加起来是 $3$ 的倍数，则这个数肯定是 $3$ 的倍数。

现在给定进制 $P$ ，求有多少个 $B$ 满足 $P$ 进制下，一个正整数是 $B$ 的倍数的充分必要条件是每一位加起来的和是 $B$ 的倍数。

Input

第一行一个正整数 $T$ 表示数据组数 $(1\le T\le20)$ 。

接下来 $T$ 行，每行一个正整数 $P$ $(2 < P < 10^9)$ ，表示一组询问。

Output

对于每组数据输出一行，每一行一个数表示答案。

Sample Input

1
10

Sample Output

Solution

若 $B\ge P$ ，设 $B$ 的 $P$ 进制表示为 $B=(b_nb_{n-1}...b_1b_0)_P$ ，则 $n\ge 1$ ，由 $B|B$ 知 $B|\sum\limits_{i=0}^nb_i$ ，而 $B=\sum\limits_{i=0}^nb_iP^i>\sum\limits_{i=0}^nb_i$ ，矛盾，故 $1\le B<P$

由 $1\le B<P$ 知 $BP-P+1=(B-1)P+1=(B-1,1)_P$ ，故 $B|(BP-P+1)$ ，进而 $B|(P-1)$

对任意 $(c_nc_{n-1}...c_1c_0)_P$ 有 $B|(P-1)\sum\limits_{i=1}^nc_i\sum\limits_{j=0}^{i-1}P^j=\sum\limits_{i=0}^nc_iP^i-\sum\limits_{i=0}^nc_i$ ，进而 $B|\sum\limits_{i=0}^nc_i\Longleftrightarrow B|\sum\limits_{i=0}^nc_iP^i$

综上知满足条件的 $B$ 为 $P-1$ 的所有因子

Code

#include<cstdio>
using namespace std;
int main()
{
    int T,p;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%d",&p);
        p--;
        int ans=1;
        for(int i=2;i*i<=p;i++)
            if(p%i==0)
            {
                int num=0;
                while(p%i==0)num++,p/=i;
                ans*=(num+1);
            }
        if(p>1)ans*=2;
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}