HDU 6134 Battlestation Operational（积性函数+莫比乌斯反演）-优快云博客

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/V5ZSQ/article/details/77338191

本文详细解析了一个复杂的求和问题f(n)，通过引入辅助函数g(n)进行转换，并利用数论中的积性函数特性，采用线性筛法高效求解。最终通过枚举和前缀和的方法实现了O(nlogn)的时间复杂度。

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Description

求 $f(n)=\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{i}\lceil \frac{i}{j}\rceil [(i,j)=1]$

Input

多组用例，每组用例输入一整数 $n$ ，以文件尾结束 $(1\leq n\leq10^{6})$

Output

对于每组用例，输出 $f(n)$ ，结果模 $10^{9}+7$

Sample Input

1
2
3
10

Sample Output

1
3
8
110

Solution

令 g (n) = = = = = = \sum i = 1 n ⌈ n i ⌉ [(i, n) = 1] \sum i = 1 n ⌊ n i ⌋ [(i, n) = 1] + ϕ (n) - 1 \sum i = 1 n ⌊ n i ⌋ \sum d | (i, n) μ (d) + ϕ (n) - 1 \sum d | n μ (d) \sum i = 1 n / d ⌊ n / d i ⌋ + ϕ (n) - 1 \sum d | n μ (n d) \sum i = 1 d ⌊ d i ⌋ + ϕ (n) - 1 \sum d | n μ (n d) S u m (d) + ϕ (n) - 1

$\begin{eqnarray}令g(n) &=&\sum\limits_{i=1}^{n}\lceil \frac{n}{i}\rceil[(i,n)=1]\\ &=&\sum\limits_{i=1}^{n}\lfloor \frac{n}{i}\rfloor[(i,n)=1]+\phi(n)-1\\ &=&\sum\limits_{i=1}^{n}\lfloor \frac{n}{i}\rfloor\sum\limits_{d|(i,n)}\mu(d)+\phi(n)-1\\ &=&\sum\limits_{d|n}\mu(d)\sum\limits_{i=1}^{n/d}\lfloor \frac{n/d}{i}\rfloor+\phi(n)-1\\ &=&\sum\limits_{d|n}\mu(\frac{n}{d})\sum\limits_{i=1}^{d}\lfloor \frac{d}{i}\rfloor+\phi(n)-1\\ &=&\sum\limits_{d|n}\mu(\frac{n}{d})Sum(d)+\phi(n)-1\\ \end{eqnarray}$

其 中 S u m (n) = \sum i = 1 n ⌊ n i ⌋ = \sum i = 1 n d (i), d (n) 是 n 的 正 因 子 数 目

$\begin{eqnarray}其中Sum(n) &=&\sum\limits_{i=1}^{n}\lfloor\frac{n}{i}\rfloor=\sum\limits_{i=1}^{n}d(i),d(n)是n的正因子数目 \end{eqnarray}$

ϕ,μ,d $\phi,\mu,d$ 都是积性函数，线性筛得到

ϕ,μ,d $\phi,\mu,d$ ，枚举

i $i$ 和

j $j$ ，把

μ(j)Sum(i) $\mu(j)Sum(i)$ 的值累加到

g(ij) $g(ij)$ 中得到

g $g$ ，对

g $g$ 求一遍前缀和即得到

f $f$ ，时间复杂度

O(nlogn) $O(nlogn)$

Code

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define maxn 1000005
#define mod 1000000007
typedef long long ll;
int prime[maxn],mu[maxn],euler[maxn],res,d[maxn],temp[maxn];
void Moblus(int n=1000000)
{
    mu[1]=euler[1]=d[1]=1;
    res=0;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(!temp[i])
        {
            prime[res++]=i;
            mu[i]=-1;
            euler[i]=i-1;
            temp[i]=i;
            d[i]=2;
        }
        for(int j=0;j<res&&i*prime[j]<=n;j++)
        {
            if(i%prime[j]==0)
            {
                mu[i*prime[j]]=0;
                euler[prime[j]*i]=euler[i]*prime[j];
                temp[i*prime[j]]=temp[i]*prime[j];
                d[i*prime[j]]=d[i/temp[i]]*(d[temp[i]]+1);
                break;
            }
            mu[i*prime[j]]=-mu[i];
            euler[prime[j]*i]=euler[i]*(prime[j]-1);
            temp[i*prime[j]]=prime[j];
            d[i*prime[j]]=2*d[i];
        }
    }
}
void inc(int &x,int y)
{
    x=x+y>=mod?x+y-mod:x+y;
}
void dec(int &x,int y)
{
    x=x-y<0?x-y+mod:x-y;
}
int ans[maxn];
void init(int n=1000000)
{
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=i;j<=n;j+=i)
            if(mu[j/i]==-1)dec(ans[j],d[i]);
            else if(mu[j/i]==1)inc(ans[j],d[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        inc(ans[i],euler[i]),dec(ans[i],1),inc(ans[i],ans[i-1]);
}
int main()
{
    Moblus();
    for(int i=2;i<=1000000;i++)d[i]+=d[i-1];
    init();
    int n;
    while(~scanf("%d",&n))
        printf("%d\n",ans[n]);
    return 0;
}