LightOJ 1318 Strange Game（组合数学+数论）

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本文解析了一道算法竞赛题目，涉及组合数学原理，通过计算特定条件下可构造的不同字符串对的最大数量来确定哪位参与者会最先无法继续游戏。文章详细介绍了问题背景、输入输出格式、示例以及解题思路。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description
n个人轮流操作，每次要用k个不用的字符，每种数量无限，构造两个长度均为l且只有m个对应位置不同的字符串，其中只有m个不同的位置不同，不考虑先后顺序，不能和之前人构造的一样，问谁最先构造不出来
Input
第一行一整数T表示用例组数，每组用例输入四个整数n,k,l,m (T<=200,2<=n<=10000,1<=k<=1e9,1<=l<=1e5,0<=m<=l)
Output
输出最先构造不出来人的编号（n个人编号1~n）
Sample Input
5
2 2 2 1
3 4 3 3
9 26 8 5
10 2 2 2
100 3 2 0
Sample Output
Case 1: 1
Case 2: 1
Case 3: 5
Case 4: 3
Case 5: 10
Solution
问题变成最多有多少对这种串，简单组合，从l个位置选出m个作为出现不同的位置，之后第一个串每个位置都有k种选择，第二个串只有和第一个串不同的位置中每个位置有k-1种选择，所以答案就是C(l,m) * (k^l) * ((k-1)^m)，注意m不为0时要去重，除个2就行，但是因为模数n不是质数，所以分k的奇偶讨论一下，把2先用k或k-1除掉，组合数的话就筛下素因子再把阶乘的各素因子幂指数求出来加加减减就行
Code

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<ctime>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define INF 0x3f3f3f3f
#define maxn 111111
int res,p[maxn],mark[maxn],cnt[maxn];
void get_prime()
{
    res=0;
    memset(mark,0,sizeof(mark));
    for(int i=2;i<maxn;i++)
        if(!mark[i])
        {
            p[res++]=i;
            for(int j=2*i;j<maxn;j+=i)mark[j]=1;
        }
}
ll mod_pow(ll a,ll b,ll c)
{
    ll ans=1;
    while(b)
    {
        if(b&1)ans=ans*a%c;
        a=1ll*a*a%c;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}
void deal(ll x,int sign)
{
    for(int i=0;i<res;i++)
    {
        ll temp=x;
        while(temp)cnt[i]+=sign*(temp/p[i]),temp/=p[i];
    }
}
ll C(ll l,ll m,ll n)
{
    memset(cnt,0,sizeof(cnt));
    deal(l,1),deal(m,-1),deal(l-m,-1);
    ll ans=1;
    for(int i=0;i<res;i++)ans=ans*mod_pow(p[i],cnt[i],n)%n;
    return ans;
}
int main()
{
    get_prime();
    int T,Case=1;
    ll n,k,l,m;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%lld%lld%lld%lld",&n,&k,&l,&m);
        ll ans;
        if(m)
        {
            ans=C(l,m,n);
            if(k&1)ans=ans*mod_pow(k,l,n)%n*mod_pow(k-1,m-1,n)%n*(k/2)%n;
            else ans=ans*mod_pow(k,l-1,n)%n*mod_pow(k-1,m,n)%n*(k/2)%n;
        }
        else ans=mod_pow(k,l,n);
        printf("Case %d: %lld\n",Case++,ans+1);
    }
    return 0;
}