平面最近点对问题求解

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原创最新推荐文章于 2026-04-07 19:55:12 发布 9.3k 阅读 AI 写同款· GEO 优化 ›

C++用蛮力法与分治法解决最近对问题设 p1(x1,y1)，p2(x2,y2)，……，pn(xn,yn)是平面上n个点构成的集合S，最近对问题就是找出集合S中距离最近的点对。严格地讲，最接近点对可能多于一对，简单起见，只找出其中的一对即可。阅读详情

平面最近点对问题求解

问题描述：

最近点对问题是指求解平面点集n个点中距离最近的两个点间的问题。为简单起见，在二维坐标平面来考虑该问题。如果说讨论的点以标准二维坐标给出，则有点和,那么这两点之间的距离。通过这个公式，我们可以计算平面上任意两点之间的距离。

本章主要通过两种方法来求解

蛮力法
分治法

1.蛮力法

顾名思义，蛮力法指的就是通过遍历所有解之后通过对比求出最近点对问题。
基本思路：

对平面中的n个点两两进行组队，计算并记录最小距离。这里需要注意两个问题，其一，点对之间的距离是没有方向性的，即dis( Pi , Pj )=dis,( Pj , Pi ),所以任意两点只需要计算一次即可。其二，计算的时候如果只是求解大小，可以不同开方，这样有一定的优化，简化了公式的计算。

这里以杭电ACM 1007作为例子，蛮力法代码如下：
（由于是蛮力法，所以时间复杂度很高,无法AC1007，这里只是作为例子讲解）
题目链接：杭电ACM 1007

#include "stdio.h"
#include "math.h"
double Point[100001][2];
int main()
{

  int N,a=0,b=0,i,j;
  double Min;
  while(scanf_s("%d",&N) && N!=0)
  {
     Min=9999999;
     for(i=0;i<N;i++)
         scanf_s("%lf%lf",&Point[i][0],&Point[i][1]);
     for(i=0;i<N-1;i++) //N-1
     {
       for(j=i+1;j<N;j++)//这里可以避免对同一对坐标计算两次距离
       {
          double  dis=(Point[j][1]-Point[i][1])*(Point[j][1]-Point[i][1])+
                (Point[j][0]-Point[i][0])*(Point[j][0]-Point[i][0]);
          if(dis<Min)
          {
              Min=dis;
              a=i;  
              b=j;  
          }
       }
     }
     double dis=sqrt((Point[b][1]-Point[a][1])*(Point[b][1]-Point[a][1])+
          (Point[b][0]-Point[a][0])*(Point[b][0]-Point[a][0]));
     printf("%.2lf\n",dis/2);
  }
  return 0;
}

2.分治法

分治法思路：
1) 把它分成两个或多个更小的问题；
2) 分别解决每个小问题；
3) 把各小问题的解答组合起来，即可得到原问题的解答。小问题通常与原问题相似，可以递归地使用分而治之策略来解决。

这里的分治算法的主要思路是将平面上的n个点分为两个子集S1,S2。每个子集中有n/2个点，然后递归的在每个子集中求解最近点对，两边求得的结果如图所示：

那么可以看出左边的最近点对的距离为d1,右边为d2.但是最近对可能一个点在S1中而另一个点在S2中。这样，我们，就要去想办法对其进行合并,然后求得合并区域的最近对距离，假设为d3，那么只需要比较d1,d2,d3的大小关系即可，最小的就是平面最近对的距离。通过分析我们可以知道，如果存在这样的最近对的点，那么这个点在S1集合中，肯定是横坐标最靠近中位线 L 的点，S2中同理。那么这个范围如何划定呢？

设d=min(d1,d2)假定中位线横坐标为X，那么范围就是[X-d,X+d].这个范围是怎么划定的呢？根据平面中点的位置我们就可以知道，两点的距离为横纵坐标之间的差值的平方和。那么如果要存在这样的点，他们之间的横坐标之间的差值的绝对值必须要小于等于d（这里包括这点恰好就在中位线 L 上）。这样可以筛选出横坐标为[X-d,X+d]的区域。如下图所示：

可以看出这个区域中包含三个点，只需要求出这三个点之间的最近点对即可（蛮力法）。这里还需要注意一点，上面是通过横坐标筛选的这个区域，这里可以根据纵坐标将纵坐标差的绝对值大于 d 的坐标剔除。

这里是分治法求解代码：

#include "stdio.h"
#include "math.h"
#include <cstdio>  
#include "algorithm"
#define MAX 100005 
const double inf = 1e20;
struct Point{
    double x;
    double y;
};
Point p[MAX];
int ans[MAX];
double dis(Point p1,Point p2)
{
    return sqrt((p2.y-p1.y)*(p2.y-p1.y)+(p2.x-p1.x)*(p2.x-p1.x));
}
bool cmpy(const int & a,int& b)
{
     return p[a].y < p[b].y;
}
bool compxy(const Point& p1,Point& p2)
{
    if(p1.x!=p2.x)
        return p1.x<p2.x;
    return p1.y<p2.y;
}

double min(double a,double b)
{
    return a<b?a:b;
}
double divide(int left,int right)
{
    double d=inf;
    /*这里指只有一个点，那么最近点对的话距离自然就是inf了*/
    if(left==right)
        return d;
    //这里是判断是否为只有两个点，如果只有两个点的话那么直接求解。
    if(left+1==right)
        return dis(p[left],p[right]);
    //右移除2，对区域进行合理的划分，使得左右两边保持大致相等个数点
    int mid=(left+right)>>1; 
    double d1=devide(left,mid);
    double d2=devide(mid+1,right);
    d=min(d1,d2);
    int i,j,k=0;
    //通过横坐标确定[X-d,X+d]区域
    for(i=left;i<=right;i++)
    {
        if(fabs(p[mid].x-p[i].x)<=d)
           ans[k++]=i;
    }
    //通过排序，确定这写点按照纵坐标升序
    std::sort(ans, ans + k, cmpy);//线性扫描
    for(i=0;i<k-1;i++)
    {
        for(j=i+1;j<k && p[ans[j]].y-p[ans[i]].y<d;j++)
        {
            double distance=dis(p[ans[i]],p[ans[j]]);
            if(distance <d)
                d=distance;
        }
    }
    return d;
}
int main()
{
  int  i,j,N;
  while(scanf_s("%d",&N) && N!=0)
  {
     for(i=0;i<N;i++)
         scanf_s("%lf%lf",&p[i].x,&p[i].y);
     std::sort(p,p+N,compxy);//这里按照横坐标大小预排序，利用横坐标求中位线
     printf("%.2lf\n",divide(0,N-1)/2);
  }
  return 0;
}