2021年中国大学生程序设计竞赛女生专场-C.连锁商店（状压 + Floyd优化）

使用深度优先搜索解决景点游览最大价值问题

原创已于 2022-04-30 22:28:58 修改 · 952 阅读

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#其他

于 2022-04-30 22:02:02 首次发布

https://codeforces.com/gym/103389/problem/C

题意：一共有 $n$ 个景点，每个景点属于一个公司，并给出每个公司的价值，如果是第一次到这个公司就会获得该公司的价值，问从1到每一个景点分别能获得的最大价值。有 $m$ 个缆车，连接着两个景点，且景点只能从小往大走

思路：用 $p a t h$ 数组来存每个点的缆车接下来可以到达的点，由于最多每次都可能有36种选择，太大数组无法开，所以考虑状态压缩，用二进制来存可以去的点，只需要 $2^{36}$ 就可以存。如 $path_1 = 10100 = 20$ 表示可以 $1$ 可以去 $3, 5$ ，不可去 $2, 4$ ，可以去几从下往上第几位就是 $1$

//表示从景点 u 可以到 v
for (int i = 1; i <= m; i++)
{
	ll u, v;
	cin >> u >> v;
	path[u] = path[u] | ((ll)1 << v);	
	//若path[u]到 v 的那一点本身就为1，即有重复缆车，只需记录一条
}

考虑到可能有价值低的走法，如 $1 -$ > $2$ ， $2 -$ > $3$ ， $1 -$ > $3$ 同时存在，但 $1 -$ > $2$ ， $2 -$ > $3$ 显然比 $1 -$ > $3$ 更优，所以利用 $F l o y d$ 进行优化

//若 i 可以到 j 且 i 可以到 k , k 可以到 j ,那么删去 i 到 j 的边
for (int i = 1; i <= n; i++)
		for (int j = 1; j <= n; j++)
			for (int k = 1; k <= j; k++)
				if (path[i] & ((ll)1 << k) && path[k] & ((ll)1 << j) && path[i] & ((ll)1 << j))
					path[i] -= (ll)1 << j;

$dp_i$ 表示当前走法走到 $i$ 能得到的最大价值， $ans_i$ 记录答案， $c_i$ 记录点 $i$ 的公司， $w_i$ 记录第 $i$ 个公司的价值，注意 $w_i$ 不是第 $i$ 个景点的价值， $f a$ 表示到当前点的上一起点
接下来开始从初始节点 1 往下深搜遍历所有点。用 $v i s$ 数组记录是否去过某个公司。 $vis_i==0$ ，那么现在的点 now 得到的价值肯定会加上当前公司的价值，即 $dp_{now} = dp_{fa} +w_{c_{now}}\ ;\ vis_i==1$ ，那么 $dp_{now} = dp_{fa}$ ，再从该点往下遍历更后面的点

void dfs(ll now, ll fa)
{
	if (!vis[c[now]])
		dp[now] = dp[fa] + w[c[now]];
	else
		dp[now] = dp[fa];
	ans[now] = max(ans[now], dp[now]);
	//注意用vis[c[now]]++ 和 vis[c[now]]-- 
	//若写为vis[c[now]] = 1 和 vis[c[now]] = 0 ，在所有景点都是同一个公司的时候 if (!vis[c[now]]) 的判断会一直为真
	vis[c[now]]++;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	{
		if (path[now] & ((ll)1 << i))
		{
			dfs(i, now);
			vis[c[i]]--;
		}
	}
}

代码：

ll n, m;
ll c[50], w[50], vis[50];
ll dp[50], path[50], ans[50];

void dfs(ll now, ll fa)
{
	if (!vis[c[now]])
		dp[now] = dp[fa] + w[c[now]];
	else
		dp[now] = dp[fa];
	ans[now] = max(ans[now], dp[now]);
	vis[c[now]]++;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	{
		if (path[now] & ((ll)1 << i))
		{
			dfs(i, now);
			vis[c[i]]--;
		}
	}
}

void solve()
{
	cin >> n >> m;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		cin >> c[i];
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		cin >> w[i];
	for (int i = 1; i <= m; i++)
	{
		ll u, v;
		cin >> u >> v;
		path[u] = path[u] | ((ll)1 << v);
	}
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		for (int j = 1; j <= n; j++)
			for (int k = 1; k <= j; k++)
				if (path[i] & ((ll)1 << k) && path[k] & ((ll)1 << j) && path[i] & ((ll)1 << j))
					path[i] -= (ll)1 << j;
	dfs(1,0);
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		cout << ans[i] << endl;
}