Day4 平衡树 & 线段树

平衡树 & 线段树

搜索树

满足左子树权值比自己小、右子树权值比自己大（感觉操作很像线段树/树状数组上二分）

• rank(x) 即 $<x$ 的元素个数，按照根节点与 $x$ 的大小关系递归到左右子树中去
• kth 求第 $k$ 小元素，对于每个节点维护子树大小，与求 rank(x) 类似

需要支持插入/删除元素

• 对于插入元素也是不断与根节点比较，递归到左右子树中，跑到叶子节点时构造一个新点，然后更新子树大小即可
• 如果有重复元素就记录一个 $cnt$ 表示每个值的出现次数即可

如果树构成一条链那么就会退化成 $O(n)$ 的操作复杂度。由此出现了平衡树。

平衡树

思路是不断改变树的形态使树的深度尽量小（达到 $O(\log n)$）

Treap

每个点随机分配一个权值，期望时间复杂度 $O(\log n)$。Treap 上的每个点总是有有 $(key,rand)$ 两个权值，后者为附加的随机值，则 Treap 上节点满足：

• 二叉搜索树的两个性质（$key$）；
• 如果 $v$ 是 $u$ 的子节点，那么有 $rand(u)>rand(v)$。堆的性质，保证平衡性。

struct Treap {
    int l,r,siz,v,rnd,w;
    // 左儿子 右儿子 子树大小 关键字 随机值 出现次数
    // 根据需要添加 tag、区间和等，和线段树类似
} tr[maxn];
void update(int k) {
    tr[k].siz = tr[tr[k].l].siz + tr[tr[k].r].siz + tr[k].w;
}

维护序列时的 $key$ 总是设为下标，优势在于可以插入/删除元素。

FHQ-Treap

基本操作只有分裂和合并，实现思路主要通过将需要操作的部分分裂出来，进行修改后再使用合并操作粘回去。每个操作都是 $O(\log n)$ 的，实现简单故更为主流，对于整段区间的操作也很适合维护（如区间翻转、区间删除、区间插入）。

普通平衡树

维护以下操作：

• 插入一个数
• 删除一个数
• 查询 $x$ 的排名
• 查询排名为 $x$ 的数
• 求 $x$ 前驱
• 求 $x$ 后继

平衡树的直接应用，实现时总是以分裂 & 合并为主要思路。FHQ-Treap 记忆套路：对于实现中对左右子树不同的操作，总是截然不同甚至完全相反的。

-namespace FHQ_Treap {
    struct Node {
        int L, R;
        int key, pri, siz;
    } T[maxn << 1];
    int ntot = 0, root = 0;
    // 可以加入一个栈存储删除的节点，新创建节点时可以考虑使用之前空置的编号。
    int Create(int x) {
        T[++ ntot].siz = 1;
        T[ntot].L = T[ntot].R = 0;
        T[ntot].key = x, T[ntot].pri = rand();
        return ntot;
    }
    void update(int rt) {
        T[rt].siz = T[T[rt].L].siz + T[T[rt].R].siz + 1;
    }
    // l, r 表示分裂后的两颗子树的根节点。
    // 类似于二分，由于平衡树满足搜索树的性质，故按照自己的权值与目标权值进行比较，从而决定向哪颗子树继续分裂。
    void split(int rt,int val,int &l,int &r) { // 这是按照权值进行分裂。
        if (rt == 0) return l = r = 0, void(0); // 边界情况，分裂到了叶节点之外。
        if (T[rt].key <= val) { // 这一刀砍在哪里
            l = rt; split(T[rt].R,val,T[rt].R,r);
        } else {
            r = rt; split(T[rt].L,val,l,T[rt].L);
        } return update(rt);
    } // 按照子树大小进行分裂是类似的，不过递归解决时需要更改目标的子树大小
    int merge(int l,int r) {
        if (l == 0 || r == 0) return l + r;
        if (T[l].pri < T[r].pri) { // 按照优先级维护 FHQ-Treap 的平衡性
            T[l].R = merge(T[l].R, r);
            return update(l), l;
        } else {
            T[r].L = merge(l, T[r].L);
            return update(r), r;
        }
    }
    int insert(int val) {
        int l, r; split(root, val, l, r); // 把 val 的地方分裂出来
        int rt = Create(val);
        root = merge(merge(l,rt),r); // 逐步合并
        return rt;
    }
    int Delete(int val) {
        int l, mid, r;
        // 先得到包含待删除节点的根节点的子树，然后将子树中不属于待删除节点子树的节点进一步剥离
        split(root, val, l, r); split(l, val - 1, l, mid);
        mid = merge(T[mid].L, T[mid].R); // 此时 mid 就是待删除的节点，将 mid 两颗子树直接合并以湮灭 mid。
        // 如果需要保存删除节点的空置位，那就将 mid 的编号递扔进栈里。
        return root = merge(merge(l, mid), r); // 最后粘回去。
    }
    int findkth(int rt, int rnk) {
    	if (rnk == T[T[rt].L].siz + 1) // 如果找到了
    		return rt;
        // 类似于线段树上二分，讨论左右子树的大小，判断目标节点的方向
    	if (rnk <= T[T[rt].L].siz) 
    		return findkth(T[rt].L, rnk);
    	else return findkth(T[rt].R, rnk - T[T[rt].L].siz - 1);
    }
} 

区间操作

文艺平衡树

实现一颗支持区间翻转的平衡树。其中序列长度 $n\le 10^5$，操作次数 $m\le 10^5$。

区间反转

区间翻转就是平衡树专属的操作。我们将区间下标作为第一键值建树，那么对于 FHQ-Treap 上的每个节点，都可以代表一段区间信息。具体地，我们存储这个节点自己的信息、左子树的信息和右子树的信息。不同于线段树的是，Treap 上的每个点不仅代表区间，在计算这个点的贡献时自己的值也需要被考虑。

考虑把每次操作的区间分裂出来，类似于线段树打个旋转 tag。在分裂与合并等基本操作时应该及时下传旋转标记并进行旋转操作。

维护数列

给定一个数列，维护以下操作：

• 区间插入，即在指定位置插入一段区间
• 区间删除
• 区间修改
• 区间翻转
• 求区间和
• 询问整体最大子段和

区间翻转操作同上。

区间插入

对于待加入的数列，我们考虑将它们先建成一个 Treap，然后再将它粘到主 Treap 里去。类似于线段树的建树操作，每次分治操作先将 $[L,mid]$ 和 $[mid+1,R]$中的点建好树，然后粘在一起。一开始对初始序列建树也可以这么做。

区间删除

由于我们将下标作为第一键值，所以对于一段连续的区间 $[l,r]$ 一定可以被一个节点的子树表示出来，我们要做的就是把这个子树拆出来。将 FHQ-Treap 中前 $l-1$ 个元素和后 $n-r$ 个元素剥离出来，对于中间的元素我们递归地删除它们，并将它们的编号扔进栈中。

区间修改/求区间和/求最大子段和

这一类在线段树上好实现的操作可以几乎照搬到平衡树上来。不同的是，合并区间信息时需要考虑根节点的信息。剩下的就和线段树操作基本相同了。

Splay

每次操作都考虑把操作的点转到根上，但是旋转时要判断三点共线和折线两种情况进行旋转，这样操作复杂度就正确了（？noip 说不重要所以短时间内不打算学了。

替罪羊树

考虑左右孩子大小的比例，保持平衡的方法：定一个平衡因子 $\alpha$，操作与 bst 相同，但是插入时如果认为不平衡就拍扁重构。意思就是先中序遍历得到序列，然后用一个分治，每次把 $mid$ 作为根节点，左右区间递归下去作为左右子树。据说卡常专用。

文文的摄影布置

给出 $n$ 个元素，第 $i$ 个元素有两个权值 $A_i$ 和 $B_i$，令 $f(i,j)$ 表示 $A_i+A_j+{\min }_{i<k<j}{B}_k$，其中 $i+1<j$。共 $m$ 次操作：

• 1 x y 使 $A_x\leftarrow y$；
• 2 x y 使 $B_x\leftarrow y$；
• 3 l r 求

$$\underset{l\le i<i+1<j\le r}{\max }f(i,j)$$

分类讨论 $(i,j,k)$ 三元组的位置，然后线段树维护需要的值即可。

火星人

维护一个字符串序列，支持以下操作：

• 单点插入；
• 单点修改；
• 查询两个区间的 LCP 即最长公共前缀的长度。

不管前面两个平衡树操作，考虑第三个询问。LCP 的一个做法即为二分答案，前缀哈希比对前面一段的长度。先考虑线段树，维护区间的前缀哈希，询问就做线段树上二分。最后把线段树操作改为平衡树即可支持插入操作。神奇的是这题直接用 STL 的 string 能过，均摊下来复杂度正确。

查找 Search

给定 $n$ 个垃圾桶，你需要维护一个数据结构，支持以下操作：

• 1 pos val 表示将 第 $pos$ 个垃圾桶里的垃圾的编号换成 $val$；

• 2 l r 询问在 $[l,r]$ 内是否存在垃圾编号和为 $w$ 的 两个 垃圾桶。

对于每个操作 2，若存在请输出 Yes，不存在请输出 No。强制在线。

只考虑询问：记录前驱，即 $pre(i)$ 表示 $i$ 左边最近的元素使得和为 $w$，预处理开一个桶从左往右扫一遍 $O(n)$ 就能算完。考虑区间 $[l,r]$，若对于所有的 $l\le i\le r$，$pre(i)<l$ 那么就是无解的。于是记录 $pre$ 的区间最大值即可。

现在考虑修改，仍然考虑 $pre$ 数组。注意到对于序列 {1,2,2}\{1,2,2\}{1,2,2}，最后一个 $2$ 对答案的贡献被离 $1$ 最近的那个 $2$ 覆盖了。于是我们每次只用修改最左边的 $pre$ 即可。将 $x$ 替换为 $y$ 相当于删去 $x$ 然后原地插入 $y$。对于删除，我们要找到分别找到左右第 $1$ 个的 $x$ 和 $w-x$，即支持找到 $i$ 位置右边第一个 $=x$ 的值。考虑对于每个值用一个平衡树维护它的下标，那么查询就到对应的平衡树中去。实现时完全可以用 set 的 lower_bound 实现。