线性代数-矩阵的初等变换与线性方程式

以下均为个人理解，如有错误，请大佬指出，小生立马就改正。

1. 矩阵的初等变换

定义：下面三种变换称为矩阵的初等行变换。
①对换两行（对换i，j两行，记作$r_i\leftarrow \to r_j$）；
②以数k（k不等于0）乘以某一行中的所有元（第i行乘以k，记作$r_i\ast k$）
③把某一行所有元的k倍加到另一行对应的元上去（第j行的k倍加到第i行上，记作$r_i+k{r}_j$）

把定义中的行换成列，即得到矩阵的初等列变换的定义（所用记号是把r换成c）
矩阵的初等行变换和初等列变换，统称为：初等变化。

如果矩阵A经有限次初等行变换变成矩阵B，就称矩阵A与矩阵B行等价；
如果矩阵A经有限次初等列变换变成矩阵B，就称矩阵A与矩阵B列等价；
如果矩阵A经有限次初等变换变成矩阵B，就称矩阵A与矩阵B等价；

2. 行最简矩阵

首非零元：略
行阶梯矩阵：略
行最简矩阵：如果A是行阶梯矩阵，并且满足条件①非零行的非零元为1；②首非零元所在的列的其他元均定义0；

定理1：设A与B为m*n矩阵，那么
①矩阵A与矩阵B行等价的充分必要条件：存在m阶可逆矩阵P，使PA=B;
②矩阵A与矩阵B列等价的充分必要条件：存在n阶可逆矩阵Q，使AQ=B;
③矩阵A与矩阵B等价的充分必要条件：存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q，使PAQ=B;

2.1 矩阵的秩

设在矩阵A中有一个不等于0的r阶子式D, 且所有r+1阶子式全等于0，那么D称为矩阵A的最高非零矩阵，数r称为矩阵的A的秩，记作R(A)，并规定零矩阵的秩为0.

定理1：可逆矩阵的秩等于矩阵的阶数，不可逆矩阵的秩小于矩阵的阶