[NOIP模拟赛]TPS

题目描述
Treeland有n个城市,标号从1...n（1≤n≤5000）。有n-1条双向道路连接了n个城市构成一颗树。
Treeland的居民想要建造一套 TPS系统(Treeland Positioning System)。TPS是一个能帮助人定位他在哪个城市的系统。系统由k个信号塔构成，每个信号塔被安放在一个城市。当一个人打开他的TPS接收器的时候他能得到他与每一个信号塔的距离(这里距离指树上两点之间经过的边的数量) 。
显然只有当在不同的城市打开TPS接收器接受到的信息不一样的时候TPS系统才能正常工作。（也就不存在两个不同的城市使得在他们那里接收到的信号相同）注意不同的信号塔之间是可以区分的。

求最少安放多少信号塔才能使TPS系统正常工作。

输入格式
第1行：1个整数n，表示结点数
接下来n行，第i行1个字符串，第j个字符为'Y'，表示城市i和j之间有一条道路。该字符为'N'，则表示两个城市之间没有道路
 
输入样例
4
NYYY
YNNN
YNNN
YNNN
 
输出样例
2
 
样例说明
有4个城市，道路图如下所示：
2 - 1 - 3
    |

    4

1个信号塔是不够的，因为如果它放置在城市1，那么城市2和3和4的距离都与那个信号塔有1距离，它们是无法区分的。如果它位于2号城市，那么3、4号城市都有2的距离，它们是无法区分的。

2个信号塔则足够了，因为如果把两个信号塔放置在城市2和3，那么:如果我们在城市1，接收器会显示距离1,1。如果我们在城市2，接收器将显示距离0,2。如果我们在城市3，接收器会显示距离2,0。如果我们在城市4，接收器会显示距离2,2。

在每个城市里，接收器都显示出不同的距离序列。

题解

设f[i]为区分i子树内部的节点最少需要在i内部放置多少个信号塔（这里假设已经能区分一个节点是否在i子树内）。

若节点i两个不同的儿子ch1，ch2，在ch1，ch2子树内部均没有信号塔，那么这两个子树内部相同深度的节点无法区分。因此节点i最多只能有1个儿子满足以其为根的子树内没有信号塔。

#include<cstdio> 
#include<cstring> 
#include<algorithm> 
using namespace std; 
const int INF=0x3f3f3f3f; 
const int N=5005; 

int n, f[N][N], sum; 
bool map[N][N]; 
char ch[N]; 
  
void DFS( int r, int fa ) { 
    if( f[r][fa]<INF ) return; 
    bool flg=0; f[r][fa]=0; 
    for( int i=1; i<=n; i++ ) 
        if( i!=fa && map[r][i] ) { 
            DFS( i, r ); 
            f[r][fa]+=max( 1, f[i][r] ); 
            if( !f[i][r] ) flg=1; 
        } 
    f[r][fa]-=flg; 
} 
  
int main() {
	scanf( "%d", &n );
    for( int i=1; i<=n; i++ ) { 
        scanf( "%s", ch+1 ); 
        for( int j=1; j<=n; j++ ) 
            if( ch[j]=='Y' ) map[i][j]=1; 
    } 
    if( n<=1 ) { printf( "0\n" ); return 0; } 
    sum=n; 
    memset( f, 0x3f, sizeof f ); 
    for( int i=1; i<=n; i++ ) { 
        DFS( i, 0 );
        sum=min( sum, f[i][0]+1 ); 
    } 
    printf( "%d\n", sum ); 
    return 0; 
}