数据结构与算法系列之 时间复杂度

评价算法优劣的维度

• 正确性、可读性、健壮性（对不合理输入的反应能力，也称为鲁棒性）：这三个指标是基本的首要的维度。

• 时间复杂度：是一个函数，用于定性描述算法的运行时间。常用大O表示法，该方法不包含函数的低阶项和首项系数，是一种渐近表达。

  • 一般来说，计算机执行一条指令消耗的时间大致相同，那么包含多条指令的程序段的总执行时间同指令的执行次数正相关，可认为时间复杂度O是指令执行次数n的函数，即O(n)=f(n)。
  • 在分析算法时，估算执行次数最多的指令的最高阶表达式作为算法的时间复杂度，且最高阶表达式不带系数。
  • 如上所述，分析时间复杂度是获取执行次数，即根据程序的特点，计算出最里层的指令需要执行的次数。

• 空间复杂度：程序执行所消耗的存储空间。在分析算法时，估算指令的存储空间作为算法的空间复杂度。

时间复杂度分析

对数阶时间复杂度分析

//情况1  n每次以1/5的速度缩小，直至小于0
//时间复杂度取决于 n 缩小的次数
public static void test1(int n){
    while((n = n/5) > 0){
        System.out.println("test1")
    }
}

//情况2 i每次扩大2倍，直至i大于n
//时间复杂度取决于 i 扩大的次数
public static void tes2(int n){
  for(int i = 1; i < n; i = i * 2){
       System.out.println("test2")
  }
}

在情况1代码中，执行最多的指令是最里层代码是打印test语句，那么这段程序的时间复杂度是和打印语句的执行次数正相关，而执行次数取决于while的判断条件。由于每循环一次 n缩小为原来的1/5，那么总的次数total满足公式 5^total = n,可得total = log₅n.类似地，情况2中，i的总扩大次数 total满足公 式 2^total = n,可得 total = log₂n。

情况1和情况2虽然一个是缩小，一个是扩大，但本质上一致，都是在指定范围内，循环条件成倍数的变化，这种情况一般可通过取对数获取循环次数。

特别地，由于 log₅n = log₂n / log₂5,变形得 lgn = log₂5 * log₅n。 其中log₂5是一个常数，在时间复杂度分析中可以忽略常数，因此lgn等价于log₉n。此处以5举例，这个结论同样适用于其他对数阶，即对于任意对数阶的时间复杂度，都可用等价的lgn表示。

常见的时间复杂度

Ο(1)＜Ο(lgn)＜Ο(n)＜Ο(nlgn)＜Ο(n²)＜Ο(n³)＜…＜Ο(2ⁿ)＜Ο(n!)

时间复杂度的图形表示下图，当一个算法的时间复杂度大于n²时，该算法的可用性很差，建议优化算法。

图一 常见的时间复杂度 # 算法优化方向

• 使用尽量少的空间
• 使用尽量少的时间
• 空间时间互换

多个数据规模

当程序中存在多个变量时，时间复杂度O应该包含多个变量。

public static void tes3(int n,int m){
  for(int i = 1; i < n; i = i * 2){
       System.out.println("test3")
  }
  for(int i = 1; i < m; i = i * 2){
       System.out.println("test3")
  }
}

在上述代码中，程序的最里层的执行次数受 n m两个变量决定，则其时间复杂度应该表示为O(N + K)。

参考资料

• 算法中七种常见的时间复杂度