线性插值和双线性插值

线性插值和双线性插值

一. 线性插值

线性插值是一种在一维空间（一条直线上），根据已知两个点的值，来估算这两点之间任意一点值的方法。
通用公式:
$$y=y0+(y1-y0)\times \frac{x-x0}{x1-x0}$$

计算过程

例:

• 假设已知A和B两点，两点坐标分别为x0和x1，值分别为y0和y1。
• 我们期望通过线性插值计算点P（坐标为x）的值。

计算的关键是计算点P分别对A和B的权重，对于权重具体计算如下：
$$t=\frac{x-x0}{x1-x0}$$

t表示P点距离B的相对距离:

• 当t为0时，表示P与A重叠
• 当t为1时，表示P与B重叠
• 当t为0.7处，表示P在从A到B的70%处

那么P点对于B的权重为t, P点对于A的权重为1-t

得到权重之后就可以计算P点最终的值了, 具体计算如下:
$$y=y0\times (1-t)+y1\times t$$

将上述公式化简后便可以得到线性插值的通用公式: $y=y0+(y1-y0)\times \frac{x-x0}{x1-x0}$

二. 双线性插值

基于线性插值来理解双线性插值会更容易，双线性插值即在二维空间下对四个已知点进行多次线性插值。
通用公式:
$$P=z1(1-\alpha )(1-\beta )+z2\alpha (1-\beta )+z3(1-\alpha )\beta +z4\alpha \beta$$
其中:
$$\alpha =\frac{x-x1}{x2-x1}$$ $$\beta =\frac{y-y1}{y1-y2}$$

计算过程

我们定义如下内容:

1. 左上角的点为A，其坐标为(x1, y1), 值为z1
2. 右上角的点为B, 其坐标为(x2, y1), 值为z2
3. 左下角的点为C, 其坐标为(x1, y2), 值为z3
4. 右下角的点为D, 其坐标为(x2, y2), 值为z4
5. 我们期望计算ABCD围成的矩阵内任意一点P的值, 假设其坐标为(x, y)

首先我们要分别计算基于P点x轴坐标，在AB连线和CD连线上的值, 记为Ptop和Pbottom

然后再通过Ptop和Pbottom在垂直方向计算得到P

具体位置关系如下:

y₁ →  A --- Ptop ----  B
|            |         |
y            P         |
|            |         |
y₂ →  C --- Pbottom -- D
      x₁     x         x₂

通过线性插值的方法我们可以计算得到:

• $Ptop=z1+(z2-z1)\times \frac{x-x1}{x2-x1}$
• $Pbottom=z3+(z4-z3)\times \frac{x-x1}{x2-x1}$

之后我们便可以在垂直方向求得P
$$P=Ptop+(Pbottom-Ptop)\times \frac{y-y1}{y2-y1}$$

带入Ptop和Pbottom并化简后我们会得到更易读的公式: $P=z1(1-\alpha )(1-\beta )+z2\alpha (1-\beta )+z3(1-\alpha )\beta +z4\alpha \beta$

• 其中 $\alpha =\frac{x-x1}{x2-x1}$ , $\beta =\frac{y-y1}{y1-y2}$