关于 KMP 算法中next数组与最小循环节

我们设  表示 KMP 中求得的next数组，其中  表示  前面的字串所对应的最长公共前后缀，字符串为  ，长度为  ，下标从 1 开始，同时设  表示这个字符串的最小循环节，于是得到如下结论：

下面是证明：

1.首先我们假设  即 ，令 ，注意到 。通过公共前后缀我们知道对任意  有：

所以由上我们证得  为一个循环节。

2.再次我们假设  完全由  个相同的块  拼接而成，且  (整倍重复)。我们考虑长度为  的前缀和后缀：

• 前缀  等于  (即  个  连续)
• 后缀  也是  

由上说明存在一个公共前后缀长度至少为 , 于是  

由第一点我们得知对于任意一个公共前后缀长度  都会产生一个周期  , 如果存在更大的公共前后缀(即 ) , 则对应的周期  会满足  , 但是  已经是我们假设的最小循环节，这与我们假设矛盾。因此不能有更大的公共前后缀了所以
我们把上述两点合并后我们得到：

• 若  , 令  则  是一个周期.
• 若又满足 , 那么字符串可以被整除成若干段长度为  的块，且这个一定为最小周期(否则存在更小周期会导致更大的公共前后缀，这与我们定义的  数组冲突)。