【ACM】找第K大数

本文介绍了一种常见的算法问题——寻找数组中第K大的数,并提供了五种不同的解决方案,包括快速排序、遍历、堆操作及Hash方法等。

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给出一组数字,数字个数为N,找到其中第K大的数字。(N>= K)

int a[maxn]中maxn=32768*1024/4;

解法一:读入所有数据,用快速排序
时间复杂度O(N+N*logN)

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#define maxn 1000000+5
using namespace std;

int T[maxn];

bool cmp(int a,int b)
{
    return a>b;
}
int main()
{
    int N,K;
    scanf("%d %d",&N,&K);
    for(int i=0;i<N;i++)
        scanf("%d",&T[i]);
    sort(T,T+N,cmp);
    printf("%d\n",T[K-1]);
    return 0;
}

解法二:遍历K次
代码就不写了,时间复杂度O(n*k)。

解法三:对原数组建立最大堆

解法四:维护最小堆
维护一个k大小的最小堆,对于数组中的每一个元素判断与堆顶的大小,若堆顶较大,则不管,否则,弹出堆顶,将当前值插入到堆中。时间复杂度O(n * logk)。

解法五:Hash
利用hash保存数组中元素Si出现的次数,利用计数排序的思想,线性从大到小扫描过程中,前面有k-1个数则为第k大数,平均情况下时间复杂度O(n)。

### 关于求解第K大数的算法 #### 排序法 一种简单的方法是对整个组进行排序,之后直接访问索引为 \(n-k\) 的位置获取第 \(k\) 值[^1]。这种方法虽然直观易懂,但是由于涉及到全量据排序操作,因此整体的时间复杂度较高。 #### 快速选择 (Quickselect) 基于快速排序改进而来的快速选择算法能够在平均情况下达到线性时间复杂度 O(n)[^3]。该算法通过随机选取一个元素作为枢纽,并以此划分序列;如果枢纽的位置正好等于目标位置,则返回此值;否则根据比较结果决定继续处理左半部分还是右半部分的据集。这种策略有效地减少了不必要的计算开销。 ```cpp // C++ 实现 QuickSelect 查第 K 小元素 int partition(std::vector<int>& nums, int left, int right) { std::uniform_int_distribution<> dis(left, right); auto pivotIndex = dis(rng); // 随机选枢轴 swap(nums[pivotIndex], nums[right]); int storeIndex = left; for (size_t i = left; i < right; ++i) { if (nums[i] < nums[right]) { swap(nums[storeIndex++], nums[i]); } } swap(nums[right], nums[storeIndex]); return storeIndex; } int quickSelect(std::vector<int>& nums, int l, int r, int index) { while(true){ if(l==r) return nums[l]; int q = partition(nums,l,r); if(q == index) return nums[q]; else if(index<q) r=q-1; else l=q+1; } } ``` 为了到第 `K` 字,在调用上述函时传入参 `(l=0, r=n-1, index=n-K)` 即可获得所需的结果。 #### 堆排序/优先队列 利用最堆结构也可以高效解决此类问题。具体做法是先建立一个小顶堆维护前 k 个较的元素,遍历剩余项并更新堆内成员直至结束。最终堆顶即为目标答案之一[^4]。这种方式特别适合用于流式输入场景下的实时查询需求。 ```python import heapq def find_kth_largest(nums, k): min_heap = [] for num in nums[:k]: heapq.heappush(min_heap, num) for num in nums[k:]: if num > min_heap[0]: heapq.heapreplace(min_heap, num) return min_heap[0] ``` 以上三种方式各有优劣,实际应用中可根据具体情况选用最适合的一种或组合多种技术共同解决问题。
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