LCIS详解

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dp[i][j]表示a[1]~a[i]和b[1]~b[j]并以b[j]结尾的最长公共上升子序列,如果a[i]不等于b[j]时，很明显dp[i][j]的值就等于dp[i-1][j]；如果a[i]等于b[j]时，就在b[1]~b[j]中寻找b[k]使得b[j]>b[k]而且dp[i][k]是最大的。即状态转移方程为：dp[i][j] = dp[i-1][j](a[i] != b[j]),dp[i][j] = max(dp[i][k])+1(1<=k<j && b[j]>b[k]).

例题：UVA12511

代码：

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cmath>
using namespace std;
int a[1111],b[1111];
int dp[1111][1111];//dp[i][j]表示a[1]~a[i]和b[1]~b[j]并以b[j]结尾的LCIS
int main()
{
#ifdef CDZSC_June
	freopen("t.txt","r",stdin);
#endif //CDZSC_June
	int t,n,m;
	scanf("%d",&t);
	while(t--)
	{
		scanf("%d",&n);
		for(int i = 1;i<=n; i++)
		{
			scanf("%d",&a[i]);
			dp[i][0] = 0;
		}
		scanf("%d",&m);
		for(int i = 1;i<=m; i++)
		{
			scanf("%d",&b[i]);
			dp[0][i] = 0;
		}
		int max1;
		dp[0][0] = 0;
		for(int i = 1; i<=n; i++)
		{
			max1 = 0;//用来记录小于a[i]的b[j]中最大的dp[i][j]
			for(int j = 1; j<=m;j++)
			{
				if(a[i] != b[j])
				{
					dp[i][j] = dp[i-1][j];
				}
				else
				{
					for(int k = 1; k<j; k++)//即当a[i] == b[j]时.就寻找前面比b[j]小而且最大的dp[i][k](1=<k<j)即max1的值再加上1
					{
						if(b[j] > b[k]){
							max1 = max(max1,dp[i][k]);
						}
					}
					dp[i][j] = max1 + 1;
				}
			}
		}
		int ans = 0;
		for(int i = 1;i<=m;i++)
		{
			ans = max(ans,dp[n][i]);
		}
		printf("%d\n",ans);
	}
	return 0;
}

以上程序的复杂度为O(n^3)，n太大的话就会超时。所以应该优化一下，当a[i] == b[j]时，才去遍历寻找max1，是在b[j]>b[k]的条件下，即在a[i]>b[k]所以可以先在[1,m]里面保存好max1的值，然后当a[i] == b[j]时，就可以直接令dp[i][j]=max1+1，时间复杂度就降为O(n^2);

代码：

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cmath>
using namespace std;
int a[1111],b[1111];
int dp[1111][1111];//dp[i][j]表示a[1]~a[i]和b[1]~b[j]并以b[j]结尾的LCIS
int main()
{
#ifdef CDZSC_June
	freopen("t.txt","r",stdin);
#endif //CDZSC_June
	int t,n,m;
	scanf("%d",&t);
	while(t--)
	{
		scanf("%d",&n);
		for(int i = 1;i<=n; i++)
		{
			scanf("%d",&a[i]);
			dp[i][0] = 0;
		}
		scanf("%d",&m);
		for(int i = 1;i<=m; i++)
		{
			scanf("%d",&b[i]);
			dp[0][i] = 0;
		}
		int max1;
		dp[0][0] = 0;
		for(int i = 1; i<=n; i++)
		{
			max1 = 0;//用来记录小于a[i]的b[j]中最大的dp[i][j]
			for(int j = 1; j<=m;j++)
			{
				if(a[i] != b[j])
				{
					dp[i][j] = dp[i-1][j];
				}
				else
				{
					dp[i][j] = max1 + 1;//即当a[i] == b[j]时.就寻找前面比b[j](即a[i])小而且最大的dp[i][k](1=<k<j)即max1的值再加上1(因为当前两者相等了)
				}
				if(a[i] > b[j] && max1 < dp[i][j]){
					max1 = dp[i][j];
				}
			}
		}
		int ans = 0;
		for(int i = 1;i<=m;i++)
		{
			ans = max(ans,dp[n][i]);
		}
		printf("%d\n",ans);
	}
	return 0;
}

观察状态转移方程可以进行通过滚动数组压缩空间；即状态转移方程为：dp[j] = max(dp[k])+1(1<=k<j && b[j]>b[k])

代码：

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cmath>
using namespace std;
int a[1111],b[1111];
int dp[1111];
int main()
{
#ifdef CDZSC_June
	freopen("t.txt","r",stdin);
#endif //CDZSC_June
	int t,n,m;
	scanf("%d",&t);
	while(t--)
	{
		scanf("%d",&n);
		for(int i = 1;i<=n; i++)
		{
			scanf("%d",&a[i]);
		}
		scanf("%d",&m);
		for(int i = 1;i<=m; i++)
		{
			scanf("%d",&b[i]);
			dp[i] = 0;
		}
		int max1;
		for(int i = 1; i<=n; i++)
		{
			max1 = 0;
			for(int j = 1; j<=m;j++)
			{
				if(a[i] == b[j])
				{
					dp[j] = max1 + 1;
				}
				if(a[i] > b[j] && max1 < dp[j]){
					max1 = dp[j];
				}
			}
		}
		int ans = 0;
		for(int i = 1;i<=m;i++)
		{
			ans = max(ans,dp[i]);
		}
		printf("%d\n",ans);
	}
	return 0;
}