[HDU 6378] 1005 度度熊玩数组 2018 “百度之星”程序设计大赛 - 初赛（A）

最新推荐文章于 2020-07-20 10:09:46 发布

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#百度之星 #启发式合并

本文介绍了一种使用启发式方法解决特定区间合并问题的算法。通过离线处理及区间合并策略，实现O(nlog²n)的时间复杂度。算法利用set数据结构存储前缀和，以找到最接近目标值K的区间权值和。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意

长度为 $N(1≤N≤100000 )$ 的数组 $A$ ，和一个整数 $K$ ，有 $N$ 次操作每次删除一个位置

问不包含失效位置的最接近 $K$ 的区间权值和

分析

并没有完全看懂出题者的题解，补题时非常感谢https://blog.youkuaiyun.com/qq_36797743/article/details/81604424的启发！

首先对于每次使一个点失效，我们可以将其离线，倒过来做。这样问题就变成每次使一个点生效。

考虑到每次使某点生效，本质为将该点与（已经生效的）左右区间进行合并。对于合并的对象，我们可以考虑到，保存每个区间的值是不可行的。那么我们可以保存某个区间内所有的前缀和（或后缀和），由于 $[l, r]$ 区间和为 $S_{r} - S_{l-1}$ ，我们可以在两个区间进行合并时，通过“启发式方法”（通过枚举小区间内的前缀值，在另一区间内查找使得最接近 $K$ 的另一前缀和，然后将较小的区间放到较大区间中），同时计算出 区间和与 $K$ 差的绝对值的最小值。

具体的操作是为每一个位置开一个 $set$ ，之后固定枚举区间的左端点或右端点：

当左区间 $Size \le$ 右区间 $Size$ 时，对于每一个左边界 $D = |K - (S_r-S_{l-1})| = |(K + S_{l-1}) - S_r|$

只要在右区间中查询 $S_i \le K+S_{l-1} \le S_j$ ，之后更新最小值 $D$ 。

之后将左区间合并入右区间中。
当右区间 $Size \lt$ 左区间 $Size$ 时，对于每一个右边界 $D = |K - (S_r-S_{l-1})| = |(S_r-K) - S_{l-1}|$

只要在左区间中查询 $S_i \le S_r-K \le S_j$ ，之后更新最小值 $D$ 。

之后将右区间合并入左区间中。

最后要考虑的是当我们对每一个点 $i$ 创建 $set$ 时，只插入了 $S_i$ ，而 $[l, r]$ 区间和的表示是 $S_{r} - S_{l-1}$ ，那么就会漏掉 $l = \text{leftmost } i$ 的情况，我们可以在每次区间合并前，将 $\text{leftmost } i$ 当作左边界强制更新一下最小值。

显而易见的是，通过启发式方法进行合并的均摊时间复杂度为 $O(n\log{n})$ ，由于在 $set$ 中的查询需要 $\log{n}$ 的时间，故整体时间复杂度为 $O(n\log^2{n})$ 。

代码

/*C++11 WARNING*/
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 1e5+5;
int n, k;
int a[N], s[N], f[N], lm[N], d[N], ans[N];
set<int> st[N];
int findfa(int x){return x==f[x]?x:f[x]=findfa(f[x]);}
void init(int n){
    memset(f, 0, (n+2)*sizeof(int));
    for(int i = 1; i <= n; i++) lm[i] = i-1;
}

void mergeSet(int x, int y, int& mn){
    int fx = findfa(x), fy = findfa(y);
    ll sp = (ll)k+s[lm[fx]];
    auto iter = st[fy].lower_bound(sp);
    if(iter != st[fy].end()) mn = min((ll)mn, abs(sp-*iter));
    if(iter != st[fy].begin()){iter--; mn = min((ll)mn, abs(sp-*iter));}
    if(st[fx].size() >= st[fy].size()){
        f[fy] = fx;
        for(int v: st[fy]){
            sp = (ll)v-k;
            iter = st[fx].lower_bound(sp);
            if(iter != st[fx].end()) mn = min((ll)mn, abs(sp-*iter));
            if(iter != st[fx].begin()){iter--; mn = min((ll)mn, abs(sp-*iter));}
        }
        for(int v: st[fy]) st[fx].insert(v);
        st[fy].clear();
    }else{
        f[fx] = fy; lm[fy] = lm[fx];
        for(int v: st[fx]){
            sp = (ll)k+v;
            iter = st[fy].lower_bound(sp);
            if(iter != st[fy].end()) mn = min((ll)mn, abs(sp-*iter));
            if(iter != st[fy].begin()){iter--; mn = min((ll)mn, abs(sp-*iter));}
        }
        for(int v: st[fx]) st[fy].insert(v);
        st[fx].clear();
    }
}

int main()
{
    while(scanf("%d%d", &n, &k) != EOF){
        init(n);
        for(int i = 1; i <= n; i++){
            scanf("%d", &a[i]);
            s[i] = s[i-1] + a[i];
        }
        for(int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &d[i]);
        int mn = 0x7fffffff;
        for(int i = n; i >= 1; i--){
            if(mn == 0) {ans[i] = 0; continue;}
            int& x = d[i];
            mn = min(mn, abs(a[x] - k));
            st[x].clear();
            st[x].insert(s[x]);
            f[x] = x;
            if(f[x-1]) mergeSet(x-1, x, mn);
            if(f[x+1]) mergeSet(x, x+1, mn);
            ans[i] = mn;
        }
        for(int i = 1; i <= n; i++) printf("%d\n", ans[i]);
    }
    return 0;
}