UESTC - 1707 神秘组织的的分数

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本文介绍了一种寻找分数的最佳单位分数组合的方法，该方法应用于一个虚构的神秘组织中，通过特定的规则找到最少单位分数数量及最大最小单位分数的组合。文章提供了算法思路和实现代码。

在一个叫凝聚的神秘组织内
他们使用单位分数的和（形如 $1c\frac{1}{c}$ ， c是自然数）表示一切有理数
比如 $23=12+16\frac{2}{3} = \frac{1}{2} + \frac{1}{6}$ ，但不允许 $23=13+13\frac{2}{3} = \frac{1}{3} + \frac{1}{3}$ ，因为加数中有相同的分数
当然了，对于一个分数 $ab\frac{a}{b}$ ，会有多种表示方法。
在神秘组织中，他们有他们的评判方式：加数少的比加数多的好，其次，加数个数相同的，最小的分数越大越好。
$1945=15+16+118\frac{19}{45} = \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{18}$
$1945=14+16+1180\frac{19}{45} = \frac{1}{4} + \frac{1}{6} + \frac{1}{180}$
$1945=13+112+1180\frac{19}{45} = \frac{1}{3} + \frac{1}{12} + \frac{1}{180}$
$1945=13+115+145\frac{19}{45} = \frac{1}{3} + \frac{1}{15} + \frac{1}{45}$
$1945=13+118+130\frac{19}{45} = \frac{1}{3} + \frac{1}{18} + \frac{1}{30}$
第一种是最好的表达方式，也就是神秘组织采用的表达方式！
很可能已经有神秘组织成员混入集训队了！为了找出他们，你必须学会这种分数的表达！

Input

一行，两个整数 $a$ ， $b$ ，代表分数 $ab\frac{a}{b}$
$\leq 1000$

Output

输入给出的分数的神秘组织表达方式
一行，按照分母从小到大排列

Sample input and output

Sample Input	Sample Output
19 45	5 6 18

Hint

XJBS

Source

2017 UESTC Training for Search Algorithm & String

思路

题目中已经给出提示，该题使用暴力搜索即可得出。我们可以按使用的单位分数数量逐个搜索。由于需要使最小的分数越大越好，所以我们可以使分母从大到小进行搜索。当搜索进行到最后一层，即到分母最小的一个数字，保证 $a ∣ b$ 且 $b / a < f [2]$ 。如果发现此时 $\le ans[1]$ 时，即可更新答案。
另外需要注意的是，将搜索的分母上下界分别设为 $x_{max}$ 与 $x_{min}$ ，那么它们满足 $1xmin−1<ab≤1xmin\frac{1}{x_{min}-1} < \frac{a}{b} \leq \frac{1}{x_{min}}$ 和 $txmax−1<ab≤txmax\frac{t}{x_{max}-1} < \frac{a}{b} \leq \frac{t}{x_{max}}$ ，其中 $t$ 为当前搜索层数。

代码

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 1e6+5;
const int INF = 0x7fffffff;
ll a, b, dep, f[N], ans[N];
ll gcd(ll a, ll b){return b==0?a:gcd(b,a%b);}

bool dfs(int t, ll a, ll b){
  bool ret = false;
  if(t == 1){
    if(b%a || (b/a)<=f[t+1]) return 0;
    f[t] = b/a;
    if(f[t] < ans[t]) for(int i = 1; i <= dep; i++) ans[i] = f[i];
    return true;
  }
  ll l=(b+a-1)/a, r=(t*b+a-1)/a;
  if(t<dep) l=max(l, f[t+1]+1);
  for(ll i = l; i <= r; i++){
    ll x = a*i-b, y = b*i;
    ll g = gcd(x, y);
    f[t] = i;
    ret |= dfs(t-1, x/g, y/g);
  }
  return ret;
}

int main()
{
  scanf("%lld%lld", &a, &b);
  dep = 1; ans[1] = INF;
  while(!dfs(dep,a,b)) dep++;
  for(int i = dep; i >= 1; i--)
    printf("%lld%c", ans[i], i==1?'\n':' ');
  return 0;
}