2023 hdu 第10场 1004 Do you Like Interactive Problem

原创已于 2023-08-18 16:56:02 修改 · 197 阅读

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#c++ #算法 #动态规划 #概率论

于 2023-08-18 10:47:45 首次发布

文章探讨了一个关于整数范围内的随机查询问题，计算在知道某些条件下的期望询问次数。

Problem Description

现在有一个整数 $x$ $\le x \le n)$ ，但你不知道 $x$ 。

你可以进行以下的询问方式，选择一个随机的整数 $y$ $\le y \le n)$ ，每次询问是相互独立的，询问后你会被告知 $x$ 和 $y$ 满足 $x < y, x > y, x = y$ 三种关系中的哪一种。

现在给出具体 $n$ 后，求期望询问次数。

Input

第一行输入一个整数 $T$ $\le T \le 100)$ ，表示测试组数。
接下来 $T$ 行每行输入一个整数 $n$ $\le n \le 10^9)$ 。

Output

输出模 $998244353$ 的期望步数。

Solution

我们进行分类讨论。

首先当 $n = 1$ 时，我们需要特判期望步数为 $0$ 。

而当 $n > 1$ 时，设期望为 $E$ 。

① $x$ 在两端时，取到概率为 $2n\frac{2}{n}$ 。

设期望为 $E_1$ 。

$y$ 取到 $x$ 或者相邻点的概率是 $2n\frac{2}{n}$ ，取到后期望步数 $0$ 。
$y$ 取到其他的概率是 $n−2n\frac{n-2}{n}$ ，期望步数依然是 $E_1$ 。

那么我们能得到转移方程为 $E1=n−2nE1+2n⋅0+1E_1 = \frac{n-2}{n} E_1 + \frac{2}{n}· 0 + 1$ ，解得期望步数为 $E1=n2E_1 = \frac{n}{2}$ 。

② $x$ 在中间时，取到概率为 $n−2n\frac{n-2}{n}$ 。

设期望为 $E_2$ 。

直接取到 $y = x$ 。

取到的概率是 $1n\frac{1}{n}$ ，取到后期望步数是 $0$ 。
取到 $x - 1$ 或者 $x + 1$ 。

取到的概率是 $2n\frac{2}{n}$ ，取到后的期望步数等同于 $x$ 在两端时，为 $n2\frac{n}{2}$ 。
取到其他点。

取到的概率是 $n−3n\frac{n-3}{n}$ ，期望步数是 $E_2$ 。

得到转移方程为 $E2=1n⋅n+2n⋅n2+n−3nE2+1E_2 = \frac{1}{n}· n + \frac{2}{n}· \frac{n}{2} +\frac{n-3}{n} E_2 +1$ ，解得期望步数为 $E2=23nE_2 = \frac{2}{3} n$ 。

故 $\frac{2}{n} E_1 + \frac{n-2}{n} E_2$ ，解得 $\frac{2n-1}{3}$ 。

Code

#include <bits/stdc++.h>
#define endl '\n'
using namespace std;
using ll = long long ;
constexpr int mod = 998244353;
ll qmi(ll a, ll k) {
	ll res = 1 % mod, t = a % mod;
	while (k) {
		if (k & 1)res = res * t % mod;
		t = t * t % mod;
		k >>= 1;
	}
	return res;
}
void solve() {
	ll n;
	cin >> n;
	if (n == 1)cout << 0 << endl;
	else cout << (2 * n - 1) % mod*qmi(3, mod - 2) % mod << endl;
}
signed main() {
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);
	cout.tie(0);
	int t;
	cin >> t;
	while (t--) solve();
}