【USACO 2009 JAN GOLD】安全路径

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--------线段树

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--------树链剖分

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本文介绍了一种解决奶牛在农场中避开障碍（Gremlins）寻找最短路径的问题，利用最短路径树结合树链剖分和线段树进行优化处理。

时间限制 : 20000 MS 空间限制 : 65536 KB

问题描述

Gremlins最近在农场上泛滥，它们经常会阻止牛们从农庄(牛棚_1)走到别的牛棚(牛_i的目的地是牛棚_i)。每一个gremlin只认识牛_i并且知道牛_i一般走到牛棚_i的最短路经。所以它们在牛_i到牛棚_i之前的最后一条牛路上等牛_i，当然，牛不愿意遇到Gremlins，所以准备找一条稍微不同的路经从牛棚_1走到牛棚_i，所以，请你为每一头牛_i找出避免gremlin_i的最短路经的长度。
和以往一样，农场上的M (2 <= M <= 200,000)条双向牛路编号为1..M并且能让所有牛到达它们的目的地，N(3 <= N <=100,000)个编号为1..N的牛棚。牛路i连接牛棚a_i (1 <= a_i <= N)和b_i (1 <= b_i <=N)并且需要时间t_i (1 <=t_i <=1,000)通过。没有两条牛路连接同样的牛棚,所有牛路满足a_i!=b_i。在所有数据中，牛_i使用的牛棚_1到牛棚_i的最短路经是唯一的。
以下是一个牛棚,牛路和时间的例子：

输入格式

第一行：两个空格分开的数N和M；
第2..M+1行：三个空格分开的数a_i, b_i,和t_i

输出格

第1..N-1行：第i行包含一个数，从牛棚_1到牛棚_i+1并且避免从牛棚1到牛棚i+1最短路经上最后一条牛路的最少的时间。如果这样的路经不存在，输出-1。

样例输入

4 5
1 2 2
1 3 2
3 4 4
3 2 1
2 4 3

样例输出

3
3
6

提示

20%的数据满足，N<=200；
50%的数据满足，N<=3000
100%的数据满足，N<=100,000

题解

本题中，奶牛们的原路径由从1号点出发到每个点的最短路组成，这提示我们可能需要建一棵最短路树，并在上面做点文章。显然，按照题目的要求，奶牛会经过不在最短路树上的另一条边绕过去。设我们要到的点为 $k$ ，有一条不在最短路上的边为 $(x,y)$ ， $t=LCA(x,y)$ ， $k$ 在 $t$ 到 $y$ 的路径上。那么奶牛绕行的距离可表示为 $dis[x]+len[x][y]+dis[y]-dis[k]$ ，可以发现只要 $dis[x]+len[x][y]+dis[y]$ 最小，所求答案就可最小。因此我们枚举不在最短路树的每一条边，更新两端点与 $LCA$ 间的点即可（注意不能更新 $LCA$ ）。显然可以树链剖分+线段树维护最小值。（图片引自何老板PPT）
这里写图片描述
顺便复习了一拨dijkstra+heap，才发现自己一直写的是SPFA式的假dijkstra……QAQ

代码

#include<stdio.h>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<queue>
using namespace std;
typedef pair<int,int> pii;
const int maxn=1e5+5;
const int inf=1e9;
int a,b,c,n,m,cnt=1,dis[maxn],fro[maxn],Last[maxn],St[maxn<<2],End[maxn<<2],Len[maxn<<2],Next[maxn<<2];
int vt,fa[maxn],dep[maxn],dfn[maxn],siz[maxn],son[maxn],top[maxn];
int lazy[maxn<<2],tree[maxn<<2];
bool vis[maxn],mark[maxn<<2];
priority_queue<pii,vector<pii>,greater<pii> > q;
void Addedge(int x,int y,int z)
{
    End[++cnt]=y,St[cnt]=x,Len[cnt]=z;
    Next[cnt]=Last[x],Last[x]=cnt;
}
void dijkstra(int x)
{
    for(int i=1;i<=n;i++) dis[i]=inf;
    dis[1]=0,q.push(make_pair(0,1));
    while(!q.empty())
    {
        int x=q.top().second;q.pop();
        if(vis[x]) continue;vis[x]=true;
        for(int i=Last[x];i;i=Next[i])
        {
            int y=End[i];
            if(dis[x]+Len[i]<dis[y])
            {
                dis[y]=dis[x]+Len[i],q.push(make_pair(dis[y],y));
                mark[fro[y]]=false,fro[y]=i,mark[i]=true;
            }
        }
    }
}
void Get_siz(int x)
{
    dep[x]=dep[fa[x]]+1,siz[x]=1;
    for(int i=Last[x];i;i=Next[i])
        if(mark[i])
        {
            int y=End[i];
            if(y==fa[x]) continue;
            fa[y]=x,Get_siz(y),siz[x]+=siz[y];
            if(siz[y]>siz[son[x]]) son[x]=y;
        }
}
void Get_dfn(int x,int anc)
{
    if(!x) return;
    dfn[x]=++vt,top[x]=anc;
    Get_dfn(son[x],anc);
    for(int i=Last[x];i;i=Next[i])
        if(mark[i])
        {
            int y=End[i];
            if(y==fa[x]||y==son[x]) continue;
            Get_dfn(y,y);
        }
}
namespace segment
{
    void putdown(int p)
    {
        tree[p<<1]=min(tree[p<<1],lazy[p]);
        tree[p<<1|1]=min(tree[p<<1|1],lazy[p]);
        lazy[p<<1]=min(lazy[p<<1],lazy[p]);
        lazy[p<<1|1]=min(lazy[p<<1|1],lazy[p]);
        lazy[p]=inf;
    }
    void build(int p,int l,int r)
    {
        if(l<r)
        {
            int mid=(l+r)>>1;
            build(p<<1,l,mid),build(p<<1|1,mid+1,r);
            tree[p]=lazy[p]=inf;
        }
        else tree[p]=lazy[p]=inf;
    }
    void modify(int p,int l,int r,int x,int y,int k)
    {
        if(x<=l&&r<=y)
        {
            lazy[p]=min(lazy[p],k),tree[p]=min(tree[p],k);
            return;
        }
        if(lazy[p]<inf) putdown(p);
        int mid=(l+r)>>1;
        if(x<=mid&&y>=l) modify(p<<1,l,mid,x,y,k);
        if(y>mid&&x<=r) modify(p<<1|1,mid+1,r,x,y,k);
    }
    int query(int p,int l,int r,int x)
    {
        if(l==r) return tree[p];
        if(lazy[p]<inf) putdown(p);
        int mid=(l+r)>>1;
        if(x<=mid) return query(p<<1,l,mid,x);
        return query(p<<1|1,mid+1,r,x);
    }
}
int Get_lca(int x,int y)
{
    while(top[x]!=top[y])
    {
        if(dep[top[x]]>dep[top[y]]) swap(x,y);
        y=fa[top[y]];
    }
    if(dep[x]>dep[y]) swap(x,y);
    return x;
}
void change(int x,int y,int z)
{
    while(top[x]!=top[y])
    {
        if(dep[top[x]]>dep[top[y]]) swap(x,y);
        segment::modify(1,1,n,dfn[top[y]],dfn[y],z);
        y=fa[top[y]];
    }
    if(dep[x]>dep[y]) swap(x,y);
    segment::modify(1,1,n,dfn[x]+1,dfn[y],z);
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
        Addedge(a,b,c),Addedge(b,a,c);
    }
    dijkstra(1),Get_siz(1),Get_dfn(1,1);
    segment::build(1,1,n);
    for(int i=2;i<=cnt;i++)
        if(!mark[i])
        {
            int lca=Get_lca(St[i],End[i]);
            change(End[i],lca,dis[St[i]]+dis[End[i]]+Len[i]);
        }
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        int temp=segment::query(1,1,n,dfn[i]);
        if(temp<inf) printf("%d\n",temp-dis[i]);
        else puts("-1");
    }
    return 0;
}