01. 矩阵乘法

定义

考虑一个矩阵乘法问题

$$A * B = C$$
设A为m行n列的矩阵，B为n行p列的矩阵，那么C为m行p列的矩阵
设$C_{i,j}$为矩阵C的i行j列的元素，用$A_i$表示A的第i行所代表的向量，用$B_j$表示B的第j列所代表的向量,则
$$C_{i,j} = A_i * B_j$$
上式中的乘号代表向量内积
比如
$$A =\begin{bmatrix} 1 & 2 \\\ 2 & 1\end{bmatrix} \quad Ｂ = \begin{bmatrix}5 & 2 \\\ 3 & 1\end{bmatrix}$$
那么，$C_{1,1}$的计算式子为
$$C_{1,1} = \begin{bmatrix}1 & 2\end{bmatrix}* \begin{bmatrix}5 \\\ 3\end{bmatrix} = 1 * 5 + 2 * 3 = 11$$

使用定义计算完整的解

$$\begin{bmatrix}1 & 2 \\\ 2 & 1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}5 & 2 \\\ 3 & 1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}11 & 4 \\\ 13 & 5\end{bmatrix}$$

列

上述的矩阵乘法，我们重新将A视为两个列向量$a_1,a_2$，将C视为两个列向量$c_1,c_2$，也就是说，$A*B=C$可以理解为

$$\begin{bmatrix}a_1 &a_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}5 & 2 \\\ 3 & 1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}c_1 & c_2 \end{bmatrix}$$
写成上式后我们可以很轻松的得到一个矩阵乘法的列的表示方法
$c_1$就是$a_1,a_2$的一个线性组合，且这个线性组合的参数就是5，3
$c_2$就是$a_1,a_2$的一个线性组合，且这个线性组合的参数就是2，1
公式化表示就是
$$\begin{align} c_1 = a_1 * 5 + a_2 * 2 \\\ c_2 = a_1 * 2 + a_2 * 1 \end{align}$$
也就是说，C中的所有列都是A中的所有的列的一个线性组合

行

重新将矩阵B视为行向量$b_1,b_2$，将矩阵C视为行向量$c_1,c_2$
那么得到矩阵乘法$A*B=C$新的表示方法

$$\begin{bmatrix}1 & 2 \\\ 2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}b_1 \\\ b_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}c_1 \\\ c_2 \end{bmatrix}$$
$c_1$就是$b_1,b_2$的一个线性组合，且这个组合的参数为1,2
$c_2$就是$b_1,b_2$的一个线性组合，且这个组合的参数为2,1
公式化表示就是
$$c_1 = b_1 * 1 + b_2 * 2 \\\ c_2 = b_1 * 2 + b_2 * 1$$
也就是说，C中的所有行都是B中的所有的行的一个线性组合