最大公约数问题

引言：

       最大公约数就是给出两个数，找出它们的最大公约数。该问题算法实现技巧性比较强，面试中常出现，现在分析之。

问题描述：

      给出两个正整数A、B，求出这两个正整数的最大公约数。

算法一：更相减损术

       

      更相减损术又称“等值算法”，由我国古代《九章算术》中提出。描述如下：“以少减多,更相减损,求其等也,以等数约之,等数约之,即除也,其所以相减者皆等数之重叠,故以等数约之。”就是说，对于给定的两个整数，更替的相减，最后直到两个数相等，即为开始给出的两个数的最大公约数。例如：(100,40)->(60,40)->(20,40)->(20,20)，20就是100和40的最大公约数。

int
gcd(int a, int b)
{
	while(a != b){
		if(a < b)
			b = b - a;
		else 
			a = a - b;
	}
	return a;
}

算法二:辗转相除法、

    

   辗转相除法又称欧几里得算法。

       辗转相除法是利用以下性质来确定两个正整数a和b的最大公因子的：

       1.若r是a÷b的余数,则gcd(a,b)=gcd(b,r)

       2.a和其倍数之最大公因子为a。

      另一种写法是：

      1.a÷b，令r为所得余数（0≤r＜b）。若r=0，算法结束；b即为答案。

      2.互换：置a←b，b←r，并返回第一步。

/*辗转相除法——纯循环*/

unsigned int Gcd(unsigned int M, unsigned int N)
{
	unsigned int Rem;

	while(N > 0){
		Rem = M % N;
		M = N;
		N = Rem;	
	}
	return M;
}

/*辗转相除法——递归*/

unsigned int Gcd(unsigned int M, unsigned int N)
{
	if(N == 0)
		return M;
	else
		return Gcd(N, M % N);
}

注意：

      1、对于用循环实现的辗转相除法求最大公约数，其时间复杂度是O(logN)。

      2、因为对于该问题主要考虑的是算法问题，所以对传入的参数未加检查。