【已更新完整word论文与代码！】（A题）2025 mathorcup妈妈杯数学建模竞赛解题思路|完整代码论文集合-优快云博客

【已更新完整word论文与代码！】

我是Tina表姐，毕业于中国人民大学，对数学建模的热爱让我在这一领域深耕多年。我的建模思路已经帮助了百余位学习者和参赛者在数学建模的道路上取得了显著的进步和成就。现在，我将这份宝贵的经验和知识凝练成一份全面的解题思路与代码论文集合，专为本次赛题设计，旨在帮助您深入理解数学建模的每一个环节。

本次妈妈杯A题可以做如下考虑 (部分公式和代码因为排版问题显示不完整，文中代码仅有部分，完整论文格式标准，包含全部代码)

完整内容均可以在文章末尾领取！（部分代码在本帖子里格式混乱，下载后格式正常）

在这里插入图片描述
第一个问题是：

问题1

算子学习神经网络快速预测汽车风阻的本质是通过梯度优化方法优化目标损失，对神经网络的参数进行优化。假设需要优化的目标损失函数为：

$g(\theta) = e^{\theta} - \log \theta$

其中 (\theta) 为学习参数，设初始参数值为 100，尝试求解使得目标函数最小的参数 (\theta) 的值。（要求书面求解过程或者运行代码）

问题1的数学建模与求解

问题描述

我们需要优化目标函数：

$g(\theta) = e^{\theta} - \log \theta$

其中 (\theta) 为学习参数，初始值为 100。我们的目标是找到使得 (g(\theta)) 最小的 (\theta) 值。

数学建模

目标函数分析：
- 目标函数 (g(\theta) = e^{\theta} - \log \theta) 是一个关于 (\theta) 的函数。
- 我们需要找到 (\theta) 使得 (g(\theta)) 最小。
优化方法：
- 使用梯度下降法来优化目标函数。
- 梯度下降法的核心思想是通过迭代更新参数 (\theta)，沿着目标函数的负梯度方向进行更新，直到收敛到最小值。
梯度计算：
- 首先计算目标函数 (g(\theta)) 的梯度：
  $\frac{dg(\theta)}{d\theta} = e^{\theta} - \frac{1}{\theta}$
- 梯度下降的更新公式为：
  $\theta_{new} = \theta_{old} - \alpha \cdot \frac{dg(\theta)}{d\theta}$
  其中 (\alpha) 是学习率。
迭代过程：
- 初始化 (\theta = 100)。
- 设定学习率 (\alpha)（例如 (\alpha = 0.01)）。
- 进行迭代更新，直到梯度接近于零或达到最大迭代次数。

求解过程

初始化：
- (\theta = 100)
- 学习率 (\alpha = 0.01)
- 最大迭代次数 (max_iter = 1000)
- 收敛阈值 (tol = 1e-6)
迭代更新：
- 对于每次迭代，计算梯度：
  $\frac{dg(\theta)}{d\theta} = e^{\theta} - \frac{1}{\theta}$
- 更新 (\theta)：
  $\theta = \theta - \alpha \cdot \frac{dg(\theta)}{d\theta}$
- 检查是否收敛（梯度绝对值小于 (tol)）或达到最大迭代次数。
终止条件：
- 当梯度绝对值小于 (tol) 或达到最大迭代次数时，停止迭代。

结果在这里插入图片描述

通过上述迭代过程，最终得到的 (\theta) 值即为使得目标函数 (g(\theta)) 最小的参数值。

代码实现（Python）

import numpy as np

def gradient(theta):
    return np.exp(theta) - 1 / theta

def gradient_descent(theta_init=100, alpha=0.01, max_iter=1000, tol=1e-6):
    theta = theta_init
    for i in range(max_iter):
        grad = gradient(theta)
        theta = theta - alpha * grad
        if abs(grad) < tol:
            break
    return theta

theta_optimal = gradient_descent()
print(f"Optimal theta: {
     
     theta_optimal}")

结论

通过梯度下降法，我们找到了使得目标函数 (g(\theta)) 最小的 (\theta) 值。这个值可以作为优化后的参数，用于后续的神经网络训练或其他相关任务。
为了求解使得目标函数 ( g(\theta) = e^{\theta} - \log \theta ) 最小的参数 (\theta)，我们需要对目标函数进行优化。具体步骤如下：

求导：首先，我们计算目标函数 ( g(\theta) ) 关于 (\theta) 的导数：

$g'(\theta) = \frac{d}{d\theta} \left( e^{\theta} - \log \theta \right) = e^{\theta} - \frac{1}{\theta}$
设置导数为零：为了找到极值点，我们将导数 ( g’(\theta) ) 设为零，并求解方程：

$e^{\theta} - \frac{1}{\theta} = 0 \quad \Rightarrow \quad e^{\theta} = \frac{1}{\theta}$
求解方程：这个方程没有解析解，因此我们需要使用数值方法来求解。我们可以使用牛顿迭代法来近似求解。

牛顿迭代法的迭代公式为：

$\theta_{n+1} = \theta_n - \frac{g'(\theta_n)}{g''(\theta_n)}$

其中，( g’'(\theta) ) 是目标函数的二阶导数：

$g''(\theta) = \frac{d}{d\theta} \left( e^{\theta} - \frac{1}{\theta} \right) = e^{\theta} + \frac{1}{\theta^2}$
迭代求解：我们从初始值 (\theta_0 = 100) 开始迭代，直到收敛。

下面是迭代过程的具体步骤：
- 第一次迭代：
  
  $\theta_1 = 100 - \frac{e^{100} - \frac{1}{100}}{e^{100} + \frac{1}{100^2}} \approx 100 - \frac{e^{100}}{e^{100}} = 100 - 1 = 99$