【基础】状压DP——二进制的妙用

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之前我们讲解了背包问题、树形DP，区间DP这三类问题。这些都是中规中矩的动态规划题目。

今天，我为大家讲解一种比较有趣、比较容易辨别的动规问题——状压DP。

状压DP，非常容易理解，就是在状态比较多的情况下，同时状态只需要记录是或非，使用二进制将其压缩，从而达到缩减时间复杂度的效果。

由于要使用二进制来表示状态，所以这类问题的数据范围会相对较小，时间复杂度经常含有 2^N ，故容易辨别（但是别把纯正的搜索题想成DP哦）。

 

下面，我通过几道例题来深入讲解一下状压DP（例题来源洛谷，侵删）。

 

 洛谷P1433

观察题目发现，n最大只有15，很显然的状压DP。

我们用15位二进制数来表示奶酪的状态。换句话说，第i位二进制位如果是1，表示第i个奶酪已经被吃掉了；否则表示第i个奶酪还没被吃掉。

通过一个15位的二进制数，我们已经把奶酪的状态表示出来了，那么我们还需要什么数据才能实现递推呢？我们考虑吃奶酪的过程，吃完一个奶酪和到下一个奶酪的地方去的这个过程，我们只需要知道当前吃的奶酪是哪一个，和之前已经吃过的奶酪的顺序是没有关系的。

通过分析，这道题的解法已经很显然了，我们定义f[i][j]表示当前已经吃掉的奶酪的状态为i，最后吃的奶酪是j，转移方程如下：

 

 洛谷P1433

这是一道计数类问题，每块土地分为种了或没种，且数据范围较小，所以判断这是一道状压DP的题目。

按照套路，接下来要设计状态。

我们发现如果把整个矩阵（题目种农夫的地可以当成一个n*m的矩阵）进行压缩，那显然是压不了的。考虑矩阵中的一行，我们发现这行只受到它上下两行的限制（如果存在的话）。那么，我们如果从上往下DP，一行的状态就只受到它上一行的限制。这样我们就能DP了。

定义f[i][j]表示当前在处理第i行，上一行的状态为j，转移方程如下：

这道题还有一个要注意的点就是初值的设置：

 

总结：状态DP的关键点在于如何对状态进行压缩、选择何种状态进行压缩。

现在很多的题目都不是单独的一种DP类型，而是在DP上继续做文章，如通过数据结构优化时间复杂度等等，我将会在后续的文章中给出动态规划的综合题，帮助大家掌握动态规划题目。