【基础】背包九讲之“01背包”

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动态规划（简称DP）在当今赛场上所占的比例越来越多。今天，我们就来讲讲动态规划的入门问题——背包问题。

背包问题有众多类型，其中“01背包”、“完全背包”最为典型（当然，其他类型也很重要）。我们先来讲解一下如何解决“01背包”的问题。

问题化简

01背包的问题一般可以简化为：

    有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使总价值最大。

 

一个错误的想法

看到这个问题，你的第一想法是不是像购物一样，挑性价比最高的放到背包中呢？然而，这是一种贪心（此处无贬义）的想法，存在严重的局限性的。

举个栗子，如果挑选性价比高的物品，可能消耗了较小的背包容量，但是背包剩下的容量也无法放下其他物品，导致了总价值无法到达最大。

下面这个表格清晰的体现了贪心算法的局限性。

假设背包容量V = 9， 物品数量N = 4。

c[i]（费用）	7	3	3	3
w[i]（价值）	5	2	2	2

显然，物品1的性价比最高，但是选择了物品1就无法再放其他物品。然而，选择物品2，3，4的价值为9，方案更优。

 

正解驾到

那么正解是什么呢？

我们先来讲解一下动态规划的核心思想：从局部最优解计算全局最优解。

换句话说，就是将原问题分解成若干个容易求解的小问题，通过小问题的答案来计算原问题的答案。

我们定义一个二位数组f[N][V]。

其中，f[i][j]表示前i件物品中，占用了背包j的容量，所能得到的最大价值。

当我们再考虑当前已经背包用了j的容量，第i+1件物品选不选的时候，显然f[1...i][0...V]已经都求出来了。

如果第i+1件物品不选，那么所得价值和f[i][j]的值是一样的。

如果第i+1件物品要选，那么前i件物品只能占用j-c[i+1]的背包容量。所以，这种情况下所得到的价值为f[i][j-c[i+1]] + w[i]。

综合上述两种情况，我们可以得到转移方程：

f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i - 1][j - c[i]] + w[i])

通过这个转移方程，我们很容易就能写出程序：

for (int i = 1; i <= N; ++i) 
    for (int j = 0; j <= V; ++j) //Attention: j start from 0 !!!
        if (j >= c[i]) //important!!!
            f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i - 1][j - c[i]] + w[i]);
int ans = 0;
for (int j = 0; j <= V; ++j)
    ans = max(ans, f[N][j]); //find the biggest value

我们可以发现，01背包的时间复杂度是O(NV)，空间复杂度也是O(NV)。

但是，01背包的空间复杂度是可以优化的，具体请关注我的公众号哦。